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Fondamentaux des mathématiques 1

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Mathématiques

Institution
LYC

L’objectif de ce cours est de faire une transition entre les connaissances en analyse et algèbre accumulées au lycée et les bases qui formeront un des piliers dans la formation en analyse et algèbre de la licence. Étant donné que le recrutement en première année est assez hétérogène...

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mathématiques
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notions de base en mathématiques

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Course
Mathématiques
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Fondamentaux des mathématiques 1

i

Par: HassanXP

, Préambule

L’objectif de ce cours est de faire une transition entre les connaissances en analyse et
algèbre accumulées au lycée et les bases qui formeront un des piliers dans la formation en
analyse et algèbre de la licence. Étant donné que le recrutement en première année est assez
hétérogène, il semble assez judicieux de commencer par rappeler les notions élémentaires qui
serviront tout au long de ce cours, histoire de ne perdre personne en route.
Quand il sera nécessaire au début de chaque chapitre, nous rappellerons ce qui est censé être
connu en terminal. Nous essaierons également dans la mesure du possible de fournir l’essen-
tiel des résultats de chaque chapitre sur une page, histoire de synthétiser les connaissances à
bien maîtriser pour passer au chapitre suivant.
Nous fournirons autant d’exemples et de figures nécessaires afin d’obtenir une meilleure com-
préhension du cours. Nous essaierons également de souligner les pièges dans lesquels chacun
peut se fourvoyer soit par inattention, soit par une mauvaise maîtrise du cours.

i

Par: HassanXP

,Table des matières

Sommaire 1

0 Conseils pour bien commencer 1
0.1 Conseils élémentaires sur les méthodes de travail . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 Conseils fondamentaux pour bien rédiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Conseils fondamentaux pour bien rédiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.4 Conseils pour bien raisonner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.5 Tableau des lettres grecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I Partie A 9
1 Calculs algébriques 11
1.1 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Égalités et inégalités dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Bases de logique 45
2.1 Origines de la logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Assertions et prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Quantificateurs mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Différents modes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Nombres complexes 63
3.1 Origines de sa découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Nombres complexes : forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Nombres complexes : forme géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 Arithmétique 83
4.1 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 PGCD-PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
iii

Par: HassanXP

, TABLE DES MATIÈRES

4.5 Identité et théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6 Théorème de Gauss et décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . 91
4.7 Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.8 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.9 Petit théorème de Fermat et Théorème des restes chinois . . . . . . . . . . . 94

5 Polynômes sur R ou C 97
5.1 Définition de polynômes à coefficients réels ou complexes . . . . . . . . . . 98
5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Pgcd, ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.6 Racines des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.7 Formule de Taylor pour les polynômes de C[X] . . . . . . . . . . . . . . . 108

II Partie B 111
1 Applications 113
1.1 Différence entre fonctions et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.2 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.3 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.4 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2 Pratiques sur les fonctions (applications) usuelles 129
2.1 Quelques propriétés des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.3 Fonction homographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.4 Fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.5 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.6 Fonctions circulaires (ou trigonométriques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.7 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.8 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3 Suites réelles 165
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.2 Deux suites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.3 Récurrence d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4 Limite de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.5 Suites réelles et monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.6 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.7 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.8 Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.9 Fonctions et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
iv

Par: HassanXP

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