De samenvatting is gebaseerd op de reader van analytische meetkunde. De meetkundige plaats is zeer beknopt samengevat. Bekijk daarvoor de reader en de voorbeelden.
Zelf heb ik een 8,8 gehaald met deze samenvatting.
HOOFDSTUK 1: LIJNEN
Er zijn verschillende notatievormen voor de vergelijking van een rechte lijn:
1. 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
2. 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
3. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 −𝑦
4. 𝑦 − 𝑦1 = 2 1 (𝑥 − 𝑥1)
𝑥2 −𝑥1
𝑥 𝑦
5. +𝑏 = 1
𝑎
Dit is de assenvergelijking
door (a, 0) en (0, b).
Bewijzen uit dit hoofdstuk.
• Bewijs dat 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) de vergelijking is van de lijn door (𝑥1 , 𝑦1 ) met hellingsgetal m.
Gebruik de vorm 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 en vul 𝑥1 , 𝑦1 en m in.
Dit wordt 𝑦1 = 𝑚𝑥1 + 𝑏, dus 𝑏 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1 .
De lijn wordt dan: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑦1 − 𝑚𝑥1 ofwel 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ).
𝑦 −𝑦
• Bewijs dat 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 −𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 ) de vergelijking is van de lijn door de punten (𝑥1 , 𝑦1 ) en
2 1
(𝑥2 , 𝑦2 ).
∆𝑦 𝑦 −𝑦
De lijn door de punten (𝑥1 , 𝑦1 ) en (𝑥2 , 𝑦2 ) heeft de richtingscoëfficiënt ∆𝑥 = 𝑥2 −𝑥1 . Als je dit invult
2 1
𝑦 −𝑦
in de derde vergelijking krijg je: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 −𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 ).
2 1
𝑥 𝑦
• Bewijs dat de punten (𝑥, 𝑦) van de lijn door de punten (a, 0) en (0, b) voldoen aan 𝑎 + 𝑏 = 1.
We gebruiken de vierde vergelijking en vullen hier de punten in.
𝑏−0
𝑦 − 0 = 0−𝑎 (𝑥 − 𝑎)
𝑏
𝑦 = −𝑎 (𝑥 − 𝑎)
𝑦 𝑥 𝑎
= −𝑎 − −𝑎
𝑏
𝑥 𝑦
𝑎
+𝑏 = 1
, HOOFDSTUK 2: LIJNEN
Loodrechte lijnen
Gegeven zijn de lijnen: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 en
𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑. Deze staan loodrecht op elkaar in P.
De richtingscoëfficiënt van l is a. Elk stapje naar
rechts gaan we a omhoog.
Voor lijn m geldt dat als ik één naar rechts ga, ik
c omhoog ga (hier eigenlijk -c).
Zo worden Q en R geconstrueerd.
Driehoek PQR is ook rechthoekig (want PQ en PR
staan loodrecht op elkaar), dus:
|𝑃𝑅|2 + |𝑃𝑄|2 = |𝑄𝑅|2
1 + 𝑎 2 + 1 + (−𝑐)2 = (𝑎 − 𝑐)2
𝑎 2 + 𝑐 2 + 2 = 𝑎 2 − 2𝑎𝑐 + 𝑐 2
𝑎𝑐 = −1
Dus twee lijnen staan loodrecht op elkaar als het
product van de richtingscoëfficiënten gelijk is
aan -1.
Hoek tussen twee lijnen
De hoek die gemaakt
wordt met de positieve x-
as kan worden berekend
met de tangens.
𝑎
tan(𝛼) = 1 = 𝑎
a is tenslotte de
richtingscoëfficiënt (1 naar
rechts is a omhoog).
𝑐
tan(𝛽) = 1 = 𝑐
Als twee lijnen elkaar
snijden ontstaat
daartussen een hoek. Die is
het verschil van de twee
hoeken die de lijnen maken
met de positieve x-as.
Bewijs:
In driehoek PQR geldt dat ∠PQR = 180° – β
Dus geldt voor ∠RPQ = 180° - ∠PRQ - ∠PQR
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller cdenhollander. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.21. You're not tied to anything after your purchase.
