Summary
Samenvatting eigenschappen en stellingen: Hogere Wiskunde 1
- Course
- Institution
Dit is een samenvatting van alle eigenschappen stellingen die gekend moeten zijn voor het examen Hogere Wiskunde 1.
[Show more]
2 reviews
By: julesverbeeck • 10 months ago
By: richardvandeuren • 1 year ago
Seller
Follow
amelie_vd
Reviews received
Content preview
Hoofdstuk I: “De bouwstenen”I.1 Wiskundige taal, notaties en bewijzen
Definitie: nieuwe verzamelingen uit twee verzamelingen A en B
❖ Unie = de verzameling van objecten die behoren tot A of B.
➢ A ⋃ B = {x | x ϵA of x ε B}
❖ Doorsnede = de verzameling van objecten die behoren tot A en B.
➢ A ∩ B = {x | x ε A en x ε B}
❖ Verschil = de verzameling van objecten die behoren tot A maar niet tot B.
➢ A＼B = {x | x ε A en x ∉ B}
❖ Cartesiaans product = de productverzameling van de koppels (= geordende
tweetallen (a,b)) waarbij a behoort tot A en b behoort tot B.
➢ A X B = {x | a ε A en b ε B}
Propositie: basiseigenschappen van orde en vermenigvuldiging in R
1) Voor alle reële getallen x, y en z geldt: als x < y en y < z, dan is x < z
2) Voor alle reële getallen x, y en z geldt: als x < y en z > 0 dan is xz < yz
Regels voor het bewijzen
Directe bewijzen
Bewering die begint met ∃ (“er bestaat een”) → geef een expliciet voorbeeld
Bewering die begint met ∀ (“voor alle geldt”) → begin met “Kies een willekeurige …”
Bewijzen door gevalsonderscheid → gevallen onderscheiden
Bewijzen door contrapositie
Om uitspraak p ⇒ q te bewijzen, is het soms handiger om (niet p) ⇒ (niet q) te bewijzen.
Bewijzen uit het ongerijmde
Veronderstel dat het te bewijzene niet waar is en leidt zo een contradictie af.
Bewijzen met inductie
1) Start: 1 ϵ S
2) Inductiehypothese
3) Inductiestap
1
,I.2 Getallenverzamelingen
De structuur van Q
Eigenschappen van de optelling in Q
1) + is associatief: COMMUTATIEVE
∀𝑥, 𝑦, 𝑧: (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) GROEP
2) 0 is neutraal element: ∀𝑥: 𝑥 + 0 = 𝑥 = 0 + 𝑥
3) ∀𝑥, ∃𝑦: 𝑥 + 𝑦 = 0 = 𝑦 + 𝑥
4) + is commutatief: ∀𝑥, 𝑦: 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
Eigenschappen van de vermenigvuldiging in Q
5) ・is associatief: ∀𝑥, 𝑦, 𝑧: (𝑥𝑦) 𝑧 = 𝑥 (𝑦𝑧) COMMUTATIEVE
6) 0 is neutraal element: ∀𝑥: 𝑥1 = 𝑥 = 1𝑥 GROEP
7) ∀𝑥, ∃𝑦: 𝑥𝑦 = 1 = 𝑦𝑥
8) ・is commutatief: ∀𝑥, 𝑦: 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥
Eigenschap die ・verbindt met + 1→9
9) ・is distributief tov +: VELD
∀𝑥, 𝑦, 𝑧: 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧)
Eigenschappen die de bewerkingen verbinden met de orde 1 → 11
10) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧: 𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ 𝑥 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧
11) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧: (𝑥 ≤ 𝑦 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑧) ⇒ 𝑥𝑧 ≤ 𝑦𝑧 GEORDEND VELD
Eigenschap verschil tussen orde op N en Z en die op Q TOTAAL GEORDEND
12) ∀𝑥, 𝑦: 𝑥 ≤ 𝑦 𝑜𝑓 𝑦 ≤ 𝑥 VELD
Eigenschap verschil tussen orde op N en Z en die op Q DICHT TOTAAL
12) ∀𝑥, 𝑦 𝑚𝑒𝑡 𝑥 < 𝑦, ∃𝑧: 𝑥 < 𝑧 < 𝑦 GEORDEND VELD
Proposities: begrensdheid van een niet-lege deelverzameling A
❖ A is naar boven begrensd door x: ∀𝑎 ε 𝐴: 𝑎 ≤ 𝑥 Als A een majorant en minorant
❖ A is naar onder begrensd door x: ∀𝑎 ε 𝐴: 𝑥 ≤ 𝑎 heeft, noemen we ze begrensd.
❖ A heeft een maximum M: ∀𝑎, 𝑀 ϵ 𝐴: 𝑎 ≤ 𝑀 Een max. en min. moeten tot A
❖ A heeft een minimum m: ∀𝑎, 𝑚 ϵ 𝐴: 𝑚 ≤ 𝑎 behoren.
❖ A heeft een infimum als A een grootste Als A een max. en min. heeft of
ondergrens heeft. begrensd is, dan heeft A een
❖ A heeft een supremum als A een kleinste infimum en een supremum.
bovengrens heeft. Omgekeerd geldt dit niet.
2
,Propositie: de structuur van R
R heeft de supremumeigenschap R is het enige
12) dat hieraan
∀𝐴 𝑐 𝑅, 𝐴 ≠ φ, 𝐴 𝑖𝑠 𝑛𝑎𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑣𝑒𝑛 𝑏𝑒𝑔𝑟𝑒𝑛𝑠𝑑 ⇒ 𝑠𝑢𝑝(𝐴) 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑖𝑛 𝑅 voldoet.
12)
∀𝐴 𝑐 𝑅, 𝐴 ≠ φ, 𝐴 𝑖𝑠 𝑛𝑎𝑎𝑟 𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑏𝑒𝑔𝑟𝑒𝑛𝑠𝑑 ⇒ 𝑖𝑛𝑓(𝐴) 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑖𝑛 𝑅
Definitie: de verzameling Q in R
Q is dicht in R: 𝐴𝑙𝑠 𝑥, 𝑦 ϵ 𝑅 𝑒𝑛 𝑥 < 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑒𝑟 𝑒𝑒𝑛 𝑞 ϵ 𝑄 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑥 < 𝑞 < 𝑦.
Definitie: Binomium van Newton
Als 𝑎, 𝑏 ϵ 𝑅 𝑒𝑛 𝑛 ϵN0. Dan is
Binominiaalcoëfficiënt:
Propositie: eigenschap voor Binomium van Newton
3
, Definitie: intervallen
Interval = een niet lege deelverzameling I van R waarvoor elk element van R dat tussen
twee elementen van I ligt, tot I behoort.
❖ 𝐴𝑙𝑠 𝑧 ϵ 𝑅 𝑒𝑛 𝑥, 𝑦 ϵ 𝐼 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑥 ≤ 𝑧 ≤ 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑜𝑒𝑡 𝑧 ϵ 𝐼.
1) Open interval = als A leeg is of als er rond elk punt 𝑎 ϵ 𝐴 een open interval bestaat
dat helemaal in A ligt.
❖ 𝐴𝑙𝑠 𝑒𝑟 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑘𝑒 𝑎 ϵ 𝐴 𝑒𝑒𝑛 δ > 0 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 ]𝑎 − δ, 𝑎 + δ[ ⊆ 𝐴.
2) Gesloten interval = als en slechts als R＼A open is.
Propositie: oefening 4 (p32)
Als A naar beneden begrensd is, dan is -A naar boven begrensd en sup(-A) = -inf(A).
Propositie: oefening 6 (p32)
❖ 𝐴𝑙𝑠 𝑎 ≤ 𝑏 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑐, 𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑠 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑑.
❖ 𝐴𝑙𝑠 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑠 − 𝑎 ≥ − 𝑏.
Algebraïsche structuur van Rn (op natuurlijke manier rekenen)
Definitie: vectorruimte
V is een vectorruimte over R. Rn is dus een vectorruimte over R. De elementen van Rn
noemt men daarom ook vectoren.
Definitie: de basis van Rn
Standaardbasisvectoren in Rn
Lineaire combinatie van de vectoren e1, e2, e3, … , en :
Een basis van Rn = elke deelverzameling van vectoren uit Rn waarvoor elke x ε Rn op juist
één manier geschreven kan worden als lineaire combinatie van die vecoren.
➢ Standaardbasis van Rn = de basis van Rn met de standaardbasisvectoren.
4
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller amelie_vd. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $9.78. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
62890 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now