VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
Hoofdstuk 1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen ............................................ 3
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen ............................................................................................................... 3
1.1.2 Absoluut en relatief .................................................................................................................................. 3
1.2.2 weetjes ..................................................................................................................................................... 4
Hoofdstuk 2 Verhoudingen .............................................................................................................................. 8
2.1 Verhoudingen zijn overal ............................................................................................................................. 8
2.1.2 Niet-evenredige verbanden.................................................................................................................... 10
2.1.3 Bijzondere verhoudingen ....................................................................................................................... 12
2.2.1 Schets van de leerlijn verhoudingen ...................................................................................................... 18
2.2.2 Modellen bij verhoudingen .................................................................................................................... 19
2.2.3 Redeneren en rekenen met verhoudingen ............................................................................................ 21
2.2.4 Samenhang met andere domeinen ........................................................................................................ 24
Hoofdstuk 3 Procenten .................................................................................................................................. 29
3.1.2 Een gestandaardiseerde verhouding ...................................................................................................... 29
3.1.3 Wiskundetaal bij procenten ................................................................................................................... 30
3.2.2 Introductie van procenten...................................................................................................................... 31
3.2.3 Modellen bij procenten .......................................................................................................................... 32
3.2.4 Rekenen en redeneren met procenten .................................................................................................. 33
3.2.5 Samenhang met andere domeinen ........................................................................................................ 39
Hoofdstuk 4 Breuken ..................................................................................................................................... 40
4.1.1 Verschijningsvormen .............................................................................................................................. 40
4.1.2 Wiskundetaal bij breuken....................................................................................................................... 41
4.2.2 Introductie van breuken ......................................................................................................................... 41
4.2.3 Modellen bij breuken ............................................................................................................................. 46
4.2.4 Rekenen en redeneren met breuken ..................................................................................................... 48
4.2.5 Samenhang met andere domeinen ........................................................................................................ 55
Hoofdstuk 5 Kommagetallen .......................................................................................................................... 55
5.1.2 Wiskundetaal bij kommagetallen ........................................................................................................... 55
5.2.3 Modellen en schema’s bij kommagetallen ............................................................................................. 59
5.2.4 Rekenen en redeneren met kommagetallen .......................................................................................... 60
1
, VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
Hoofdstuk 6 LEren en onderwijzen van reken-wiskunde ................................................................................ 67
Driehoekopgave .............................................................................................................................................. 67
2
, VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
HOOFDSTUK 1 SAMENHANG VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN
KOMMAGETALLEN
1.1.1 OVEREENKOMSTEN EN VERSCHILLEN
MAXIMUMSNELHEID
Via een verhoudingstabel:
200 2
meters 80 km = 80 000 m 80 000 800 200 = 22
9 9
seconden 1 u = 3 600 s 3 600 36 9 1
2
Dus 80 km/u = 22 m/s.
9
Je kunt gebruik maken van de regel: van km/u naar m/s komt neer op delen door 3,6. De uitwerking wordt dan:
80 : 3,6 ≈ 22,2 ongeveer.
DE WIJZERS VAN DE KLOK
1
a De grote wijzer maak één omwenteling per uur, dat is (≈ 0,0167) omwenteling of toer per minuut, ofwel
60
1
(≈ 0,000278) omwenteling per seconde.
3 600
1
b De kleine wijzer maakt één omwenteling in 12 uur, dat is (≈ 0,00138) omwenteling per minuut, ofwel
720
1
(≈ 0,0000231) omwenteling per seconde.
43 200
c De grote wijzer maakt 12 volledige rondjes tegen de kleine wijzer 1, dus de verhouding tussen de snelheden
van de grote en de kleine wijzer is 12 : 1.
BREUKEN EN VERHOUDINGEN ZIEN
2 3
a In de figuur zijn de volgende breuken te zien: omdat 2 van de 5 hokjes blauw zijn en omdat 3 van de 5
5 5
1 4 5
hokjes groen zijn. Als je niet specifiek op de kleur let, kun je eventueel ook nog de breuken , en ‘zien’.
5 5 5
b De breuken uit a zijn natuurlijk ook als verhouding zichtbaar, je zegt dan bijvoorbeeld 2 op 5 (een interne
verhouding). Maar je kunt ook de verhouding blauw op groen duiden als 2 op 3 (een externe verhouding).
1.1.2 ABSOLUUT EN RELATIEF
WEL OF GEEN VERHOUDINGEN?
Het deel van de figuur dat groen is, is, dus in een verhouding van 9 op 16. Verder zie ik:
1 op 4 is blauw, 1 op 16 is dubbelgekleurd, 1 op 4 is wit, 4 op 9 is blauw op groen of als je het overlappende
hokje niet meetelt 3 op 8. Het gaat er hier natuurlijk om dat je op heel veel manieren kunt kijken naar
verhoudingen (niet alleen deel-geheel).
3
, VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
OLD SCHOOL
133 19 × 7
Als je eerst goed naar de getallen kijkt voordat je gaat rekenen, kun je het eerste getal zien als = .De
10 10
som van de andere getallen komt 12 en 7 is ook 19.
Maak een tekening (als je niet verder kunt):
133 19 × 7 7 12 × 7 84 7 7×7 49
De totale lengte van deze strook is = , dus de beide delen zijn 12 × = = en 7 × = = .
10 10 10 10 10 10 10 10
2 9
Dat kun je nog vereenvoudigen tot 8 en 4 .
5 10
2 3 49 49 98 49 100 10
Nu moet je nog met deze antwoorden verder: 8 + = 9 en : 0,98 = : = × = = 5, zodat die
5 5 10 10 100 10 98 2
uitkomsten zich verhouden als 9 staat tot 5. Je ziet dat je destijds een behoorlijke dosis formeel rekenen moest
beheersen.
1.2.2 WEETJES
REPETERENDE BREUKEN
Om een repeterende breuk correct te noteren gebruiken we de notatie dat het repetendum wordt
1
doorgehaald, dus bijvoorbeeld = 0,142857
7
a We schrijven eerst elke breuk (na vereenvoudiging) als kommagetal om zodoende de vraag gemakkelijk te
11 55 17 68 3 19 1 13 104 6 2
kunnen beantwoorden. = = 0,55; = = 0,68; = 0,09375; = = 0,3; = = 0,104; = =
20 100 25 100 32 57 3 125 1000 75 25
8 7 19 7
= 0,08; = 0,093 Er zijn dus slechts in deze opgave 2 breuken met een repetendum, namelijk en . We
100 75 57 75
hadden de vraag ook kunnen beantwoorden door te kijken welke breuken (na vereenvoudiging) een noemer
hadden die niet uitsluitend factoren 2 en/of 5 bevat.
1 7 7 3 5 35 4 2
b = 0,025; = 0,175; = 0,093; = 0,428571; 1 = 1,416; =1,4; =0,307692; =0,13
40 40 75 7 12 25 13 15
TERRAS BETEGELEN
A
STUDENTENWERK
Gerard bekijkt de afbeelding hierboven en zegt: “Op elke drie donkergrijze tegels liggen er vijf lichtgrijze, dus
die verhouding is 3 : 5. De kleine tegels zijn 30 bij 30 cm, de grote 50 bij 50 cm.” Mandy reageert: “Dat zou
kunnen, maar het hoeft niet, want als de lichtgrijze tegels 48 bij 48 cm zijn en de donkergrijze 80 bij 80 cm dan
is de verhouding ook 3 op 5. Je krijgt dan 3 × 80 = 5 × 48 = 240 cm.”
JUF MARLEEN
4
Hoofdstuk 1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen ............................................ 3
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen ............................................................................................................... 3
1.1.2 Absoluut en relatief .................................................................................................................................. 3
1.2.2 weetjes ..................................................................................................................................................... 4
Hoofdstuk 2 Verhoudingen .............................................................................................................................. 8
2.1 Verhoudingen zijn overal ............................................................................................................................. 8
2.1.2 Niet-evenredige verbanden.................................................................................................................... 10
2.1.3 Bijzondere verhoudingen ....................................................................................................................... 12
2.2.1 Schets van de leerlijn verhoudingen ...................................................................................................... 18
2.2.2 Modellen bij verhoudingen .................................................................................................................... 19
2.2.3 Redeneren en rekenen met verhoudingen ............................................................................................ 21
2.2.4 Samenhang met andere domeinen ........................................................................................................ 24
Hoofdstuk 3 Procenten .................................................................................................................................. 29
3.1.2 Een gestandaardiseerde verhouding ...................................................................................................... 29
3.1.3 Wiskundetaal bij procenten ................................................................................................................... 30
3.2.2 Introductie van procenten...................................................................................................................... 31
3.2.3 Modellen bij procenten .......................................................................................................................... 32
3.2.4 Rekenen en redeneren met procenten .................................................................................................. 33
3.2.5 Samenhang met andere domeinen ........................................................................................................ 39
Hoofdstuk 4 Breuken ..................................................................................................................................... 40
4.1.1 Verschijningsvormen .............................................................................................................................. 40
4.1.2 Wiskundetaal bij breuken....................................................................................................................... 41
4.2.2 Introductie van breuken ......................................................................................................................... 41
4.2.3 Modellen bij breuken ............................................................................................................................. 46
4.2.4 Rekenen en redeneren met breuken ..................................................................................................... 48
4.2.5 Samenhang met andere domeinen ........................................................................................................ 55
Hoofdstuk 5 Kommagetallen .......................................................................................................................... 55
5.1.2 Wiskundetaal bij kommagetallen ........................................................................................................... 55
5.2.3 Modellen en schema’s bij kommagetallen ............................................................................................. 59
5.2.4 Rekenen en redeneren met kommagetallen .......................................................................................... 60
1
, VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
Hoofdstuk 6 LEren en onderwijzen van reken-wiskunde ................................................................................ 67
Driehoekopgave .............................................................................................................................................. 67
2
, VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
HOOFDSTUK 1 SAMENHANG VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN
KOMMAGETALLEN
1.1.1 OVEREENKOMSTEN EN VERSCHILLEN
MAXIMUMSNELHEID
Via een verhoudingstabel:
200 2
meters 80 km = 80 000 m 80 000 800 200 = 22
9 9
seconden 1 u = 3 600 s 3 600 36 9 1
2
Dus 80 km/u = 22 m/s.
9
Je kunt gebruik maken van de regel: van km/u naar m/s komt neer op delen door 3,6. De uitwerking wordt dan:
80 : 3,6 ≈ 22,2 ongeveer.
DE WIJZERS VAN DE KLOK
1
a De grote wijzer maak één omwenteling per uur, dat is (≈ 0,0167) omwenteling of toer per minuut, ofwel
60
1
(≈ 0,000278) omwenteling per seconde.
3 600
1
b De kleine wijzer maakt één omwenteling in 12 uur, dat is (≈ 0,00138) omwenteling per minuut, ofwel
720
1
(≈ 0,0000231) omwenteling per seconde.
43 200
c De grote wijzer maakt 12 volledige rondjes tegen de kleine wijzer 1, dus de verhouding tussen de snelheden
van de grote en de kleine wijzer is 12 : 1.
BREUKEN EN VERHOUDINGEN ZIEN
2 3
a In de figuur zijn de volgende breuken te zien: omdat 2 van de 5 hokjes blauw zijn en omdat 3 van de 5
5 5
1 4 5
hokjes groen zijn. Als je niet specifiek op de kleur let, kun je eventueel ook nog de breuken , en ‘zien’.
5 5 5
b De breuken uit a zijn natuurlijk ook als verhouding zichtbaar, je zegt dan bijvoorbeeld 2 op 5 (een interne
verhouding). Maar je kunt ook de verhouding blauw op groen duiden als 2 op 3 (een externe verhouding).
1.1.2 ABSOLUUT EN RELATIEF
WEL OF GEEN VERHOUDINGEN?
Het deel van de figuur dat groen is, is, dus in een verhouding van 9 op 16. Verder zie ik:
1 op 4 is blauw, 1 op 16 is dubbelgekleurd, 1 op 4 is wit, 4 op 9 is blauw op groen of als je het overlappende
hokje niet meetelt 3 op 8. Het gaat er hier natuurlijk om dat je op heel veel manieren kunt kijken naar
verhoudingen (niet alleen deel-geheel).
3
, VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
OLD SCHOOL
133 19 × 7
Als je eerst goed naar de getallen kijkt voordat je gaat rekenen, kun je het eerste getal zien als = .De
10 10
som van de andere getallen komt 12 en 7 is ook 19.
Maak een tekening (als je niet verder kunt):
133 19 × 7 7 12 × 7 84 7 7×7 49
De totale lengte van deze strook is = , dus de beide delen zijn 12 × = = en 7 × = = .
10 10 10 10 10 10 10 10
2 9
Dat kun je nog vereenvoudigen tot 8 en 4 .
5 10
2 3 49 49 98 49 100 10
Nu moet je nog met deze antwoorden verder: 8 + = 9 en : 0,98 = : = × = = 5, zodat die
5 5 10 10 100 10 98 2
uitkomsten zich verhouden als 9 staat tot 5. Je ziet dat je destijds een behoorlijke dosis formeel rekenen moest
beheersen.
1.2.2 WEETJES
REPETERENDE BREUKEN
Om een repeterende breuk correct te noteren gebruiken we de notatie dat het repetendum wordt
1
doorgehaald, dus bijvoorbeeld = 0,142857
7
a We schrijven eerst elke breuk (na vereenvoudiging) als kommagetal om zodoende de vraag gemakkelijk te
11 55 17 68 3 19 1 13 104 6 2
kunnen beantwoorden. = = 0,55; = = 0,68; = 0,09375; = = 0,3; = = 0,104; = =
20 100 25 100 32 57 3 125 1000 75 25
8 7 19 7
= 0,08; = 0,093 Er zijn dus slechts in deze opgave 2 breuken met een repetendum, namelijk en . We
100 75 57 75
hadden de vraag ook kunnen beantwoorden door te kijken welke breuken (na vereenvoudiging) een noemer
hadden die niet uitsluitend factoren 2 en/of 5 bevat.
1 7 7 3 5 35 4 2
b = 0,025; = 0,175; = 0,093; = 0,428571; 1 = 1,416; =1,4; =0,307692; =0,13
40 40 75 7 12 25 13 15
TERRAS BETEGELEN
A
STUDENTENWERK
Gerard bekijkt de afbeelding hierboven en zegt: “Op elke drie donkergrijze tegels liggen er vijf lichtgrijze, dus
die verhouding is 3 : 5. De kleine tegels zijn 30 bij 30 cm, de grote 50 bij 50 cm.” Mandy reageert: “Dat zou
kunnen, maar het hoeft niet, want als de lichtgrijze tegels 48 bij 48 cm zijn en de donkergrijze 80 bij 80 cm dan
is de verhouding ook 3 op 5. Je krijgt dan 3 × 80 = 5 × 48 = 240 cm.”
JUF MARLEEN
4
