onderzoekscompetentie wiskunde 6de middelbaar Aso
behaalde score 95% => opmerkingen zijn aangepast => verbeterde versie met weinig tot geen fouten
kan als word document worden doorgestuurd indien gewenst
“Schoonheid van meetkunde zonder woorden”
Het begon allemaal bij het zoeken van een onderwerp voor mijn
onderzoeksopdracht. Zoekend naar een onderwerp dat me zou boeien en waar ik
meer over wou te weten komen. Toen ik het onderwerp sangaku tegenkwam,
was ik meteen geïntrigeerd. Ik werd geprikkeld om te weten hoe dit onderwerp
in elkaar stak.
In deze onderzoeksopdracht wil ik jullie hier dan ook mee laten kennismaken.
Want zoals het citaat zegt is het inderdaad pure schoonheid van de meetkunde
zonder woorden.
Om sangaku’s beter te begrijpen gaan we eerst kijken naar waar ze ontstaan
zijn. Ik start dan ook met het bespreken van de Edoperiode of het ontstaan van
de Japanse samenleving en de basis van de Japanse wiskunde.
Vervolgens licht ik kort even toe wat de Japanse tempelwiskunde juist inhoudt
en hoe de Edoperiode hier een invloed op heeft gehad. Sangaku’s werden ook
gebruikt binnen religieuze context. Daarom vind ik het van belang dat dit kort
even besproken wordt omdat het toch wel een zeer aanwezig element was.
Al dit is natuurlijk opgebouwd op basis van een bron. Deze bron namelijk de
Euclidische en de vlakke meetkunde kunnen daarom niet ontbreken.
Daarna ontleden we het woord sangaku waardoor duidelijk gaat worden dat dit
een wiskundig tablet is.
Ik ga vier sangakus bespereken . Deze gaan van moeilijkheidsgraad één ster tot
vier sterren. Ik wou er absoluut één van vier sterren opgelost krijgen. Ik nam dit
dan ook niet als een obstakel aan, maar eerder als een uitdaging om mijn
grenzen te verleggen. Mijn onderzoeksvraag luidt als volgt: ‘Is het mogelijk om
een vier sterren sangaku op te lossen?’
Ik wens u dan ook veel leesplezier!
Inhoudsopgave
Inleiding................................................................................................................. 1
1. De Edoperiode................................................................................................... 3
2. Japanse tempelwiskunde: Wasan.......................................................................3
2.1. Begrip Wasan.............................................................................................. 3
2.2. ontstaan Wasan........................................................................................... 4
2.3. Gebruik binnen de religie............................................................................ 4
3. Euclidische meetkunde...................................................................................... 5
Om sangaku’s te kunnen begrijpen moeten we terug naar de Edoperiode die
loopt van 24 maart 1603 tot 3 mei 1868 en plaats vindt in Japan. De naam
Edoperiode is afkomstig van de toenmalige shogunaat 1 die in Edo zetelde. Het
krijgt ook wel eens de naam Tokugawaperiode. Deze naam is een directe
verwijzing naar de stichter van dit soort dynastie, namelijk Tokugawa leyasu. Hij
won de slag bij Sekigahara in 1600 en verkreeg zo de alleenheerschappij over
Japan. Om dit te kunnen behouden moesten alle mogelijke stoorzenders van de
baan geruimd worden. Er is er namelijk één in het bijzonder, de zoon van
Toyotomi Hideyoshi. Hij verblijft in een kasteel
dat in 1615 overmeesterd werd door Tokugawa.
Hij vermoordde heel de Toyotomi familie om zijn
plaats te verzekeren. De jaren verstrijken en in
1641 keert er rust en stabiliteit in het land. Japan
werd namelijk afgesloten van de rest van de
wereld wat een zeer grote invloed gaat hebben op
het ontstaan van de sangaku’s. Er ontstonden
verschillende klassen met als hoogstgeplaatste
rang de samoerai. Vervolgens kwamen de boeren,
ambachtslieden en als laatste de kooplieden. Figuur 1 Tokugawa Ieyasu
De volgende decennia waren over het algemeen stabiel. Er waren hier en daar
gevechten tussen de dorpen, maar deze werden al gauw opgelost door de
samoerai. Op een bepaald moment vonden er geen conflicten meer plaats en
zaten de samoerais met hun vingers te draaien. Om hier iets aan te doen
werden ze ingezet om te werken voor de dynastie. Ze gingen belastingen
berekenen door middel van Chinese wiskunde en ze gingen boeren hun percelen
controleren. Dit evolueerden al gauw tot de oprichting van scholen, Juku’s, om
hun kennis door te geven. Het gebrek aan oog voor de boeren had als positief
gevolg dat ook zij naar scholen konden. Goed geschoolde personen die konden
lezen, schrijven en rekenen was dus een zeer gunstig effect hiervan.
2. JAPANSE TEMPELWISKUNDE: WASAN
2.1. BEGRIP WASAN
Wasan is de naam voor de Japanse wiskunde die ontstaan is zonder enige
invloeden van het westen tijdens de Edoperiode. Als we de term wasan gaan
ontleden zien we twee delen terugkomen. Als eerste het deeltje “wa” wat Japan
wil zeggen. Vervolgens het laatste deeltje “san” met als betekenis berekening.
Het betekent dus letterlijk Japanse berekeningen ofwel Japanse wiskunde.
1
Japanse opperbevelhebber
3
,2.2. ONTSTAAN WASAN
Japanse tempelwiskunde vindt zijn oorsprong in de Chinese wiskunde. Voor de
afzondering van de buitenwereld in de 8 e eeuw na Christus hadden ze al
kennisgemaakt met enkele werken. Zo kenden ze al algebra, rekenkunde en
meetkunde. De groei hiervan evolueerde relatief traag of zelfs niet.
Het eerste echt officiële werk van de Japanse wiskunde werd uitgebracht in
1627.Het kreeg de naam Jinko-ki, wat letterijk kleine en grote getallen betekent.
Rond deze periode kwam de Wasan dan ook in opkomst. Ze behaalden
bijvoorbeeld een zeer nauwkeurige benadering van het getal π . Door de
opkomst scholen werd wiskunde steeds belangrijker.
2.3. GEBRUIK BINNEN DE RELIGIE
Tijdens de bloeiperiode werd Wasan ook gebruikt voor religieuze doeleinden. De
meest prominent aanwezige godsdienst was het Shintoïsme. Omdat deze zo
belangrijk was bij het ontstaan van de sangaku’s, geef ik u hier graag een beetje
extra uitleg over.
Het Shintoisme is een religie die zijn oorsprong vindt in Japan. Binnen deze
godsdienst worden natuurgeesten ofwel Kami’s aanbeden. Het aantal Kami’s en
de variaties verschillen naargelang de geografische ligging in Japan. Er zijn wel
enkele grote geesten die over heel Japan
aanwezig zijn en ook vertegenwoordigd
worden door objecten of
natuurverschijnselen. In totaal omvatte de
religie meer dan 800 goden. Doormiddel
van offers werden ze blijmoedig gesteld. De
offers konden aan de priesters in de heilige
tempels overhandigd worden.
Figuur 2 Japanse tempel
De populairste geschenken waren
paarden, maar die werden vaak alleen
geofferd door het rijke deel van de
bevolking. Als alternatief maakten men
dan een afbeelding van een paard op
een stuk hout. Ook werden er
meetkundige stellingen geofferd. Alle
lagen van de bevolking schreven hun
tekeningen en ontdekkingen op hout en
offerden deze meteen aan de goden. Dit
was dan ook de geboorte van de
sangaku’s.
Figuur 3 hout met ontdekkingen
als offer
4
,3. EUCLIDISCHE MEETKUNDE
3.1. ONTSTAAN EN ONTWIKKELING
De euclidische meetkunde is ontstaan in het Egyptische
Alexandrië in het jaar 300 voor Christus. Het systeem wordt
aangewezen aan de Griekse wiskundige Euclides. Hij werd
bekend door zijn werk Elementen (Stoicheia). Het werk bestaat
uit 13 boeken die telkens nog eens onderverdeeld zijn in twee
delen. Het ene deel bevat definities terwijl het andere
theorema’s bevat. Dit werk is zeer belangrijk binnen de
wiskunde omdat dit het ontstaan is van de echte meetkunde.
De boeken gaan onder andere over vlakke meetkunde,
verhoudingen en ruimtemeetkunde. Figuur 4
Elementen
Euclides maakte duidelijk dat wiskunde vaste spelregels heeft. Hij definieerde
drie regels.
1. Als je dingen formuleert moet je eerst afspreken wat je er mee bedoelt.
(definities)
2. Vervolgens maak je overeenkomsten waarover je het met elkaar eens
bent. Je formuleert axioma’s.
3. Gebruik je gezond verstand om te concluderen wat de consequentie is van
de overeenkomsten. Wat kunnen we bewijzen met de definities en
axioma’s.
Enkele kernbegrippen in de deze vorm van meetkunde zijn het punt, de lijn, het
lijnstuk, kant van de lijn, cirkel met straal en middelpunt, rechte hoek en
congruentie.
Het boek wordt ingeleid met de volgende vijf postulaten of axioma’s:
1. Elk tweetal punten kan worden verbonden door een rechte lijn.
2. Elk lijnstuk kan oneindig worden verlengd tot een rechte lijn.
3. Gegeven een recht lijnstuk, kan men een cirkel tekenen met dit lijnstuk
als straal en een eindpunt van dit lijnstuk als het middelpunt van de
cirkel.
4. Alle rechte hoeken zijn gelijk (in de zin van congruent).
5. Parallellenpostulaat. Als twee lijnen een derde lijn op zodanige wijze
snijden dat de som van de binnenste hoeken aan een kant kleiner is dan
twee rechte hoeken, dan moeten deze twee lijnen elkaar onvermijdelijk
aan die kant kruisen onder voorwaarde dat deze lijnen oneindig worden
verlengd.
Sangaku’s zijn gemaakt op basis van stellingen en meetkunde die al bekend was
voor hun isolement. De euclidische meetkunde heeft hier dan ook een grote rol
in gespeeld. Omdat de eerste vier stellingen voor zich spreken ga ik deze niet
5
, uitleggen. Nummer vijf ziet er eerder abstract uit en daarom ga ik deze kort
even toelichten.
Wat men hiermee wil aantonen is dat als de
binnenhoeken van twee snijdende rechten samen
180° zijn, dan zijn de twee lijnen evenwijdig of
parallel met elkaar. Als deze niet evenwijdig zijn,
dan zal de som van de binnenhoeken aan één
kant kleiner zijn als 180°. Het is ook aan deze
kant dat deze lijnen elkaar gaan snijden
ongeacht hun som (≠180°). Als ze voldoende verlengd worden zullen ze dus
uiteindelijk snijden.
4. VLAKKE MEETKUNDE
Ook de vlakke meetkunde wordt zeer veel gebruikt om een weg te banen door
sangaku’s. Deze meetkunde beperkt zich tot het vlak en heeft geen ene
kromming. Dit is ook de meetkunde die wij kennen van op school en die wordt
aangeleerd tijdens wiskunde.
De gebruikte stellingen voor het oplossen van de sangaku’s licht ik kort toe bij
de gebruikte sangaku. Er zijn gewoonweg te veel stellingen om toe te lichten die
niet bij alle voorbeelden van toepassing zijn. We gaan voornamelijk gebruik
maken van kenmerken van driehoeken, de stelling van Pythagoras en
goniometrie.
5. SANGAKU
5.1. ETYMOLOGIE VAN HET WOORD SANGAKU
Het woord sangaku is niet zomaar gekozen voor dit soort werk. Het is afkomstig
van Japan en betekent letterlijk “wiskundig tablet”. We kunnen dit natuurlijk
letterlijk vertalen, maar men bedoelt hier eigenlijk iets anders mee. Het staat
inhoudelijk voor “Japanse tempel-problemen”.
We kunnen de karakters van het woord ook
gaan opsplitsen en zo ontleden.
Dit karakter( 算 ) heeft als betekenis
‘opsommen’.
Terwijl dit karakter( 額 ) ‘hoeveelheid of lijst’
betekent. We kunnen dus wel besluiten dat
het een opsomming is van een hoeveelheid
wiskundige materie. Het is in feite ook een
wiskundig tablet.
Figuur 5 voorbeeld wiskundig
tablet
5.2. SOORTEN SANGAKU’S
6
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller saar12345. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.96. You're not tied to anything after your purchase.
