ODE Cheat Sheet Nonhomogeneous Problems Series Solutions
Method of Undetermined Coefficients Taylor Method
First Order Equations f (x) yp (x) P∞
f (x) ∼ n c x , cn =
f (n) (0)
an xn + · · · + a1 x + a0 A n xn + · · · + A 1 x + A 0 n=0 n n!
Separable ae bx Aebx 1. Differentiate DE repeatedly.
y 0 a cos ωx + b sin ωx A cos ωx + B sin ωx
R (x)dy
= f (x)g(y)
R 2. Apply initial conditions.
g(y)
= f (x) dx + C Modified Method of Undetermined Coefficients: if any
term in the guess yp (x) is a solution of the homogeneous 3. Find Taylor coefficients.
Linear First Order equation, then multiply the guess by xk , where k is the 4. Insert coefficients into series form for y(x).
y 0 (x) + p(x)y(x) smallest positive integer such that no term in xk yp (x) is a
R x = f (x) solution of the homogeneous problem. Power Series Solution
µ(x) = exp p(ξ) dξ Integrating factor. P∞
(µy)0 = f µ Exact Derivative. 1. Let y(x) = c (x
n=0 n
− a)n .
R Reduction of Order
1
Solution: y(x) = µ(x) f (ξ)µ(ξ) dξ + C 2. Find y 0 (x), y 00 (x).
Homogeneous Case
Exact 3. Insert expansions in DE.
Given y1 (x) satisfies L[y] = 0, find second linearly independent
0 = M (x, y) dx + N (x, y) dy solution as v(x) = v(x)y1 (x). z = v 0 satisfies a separable ODE. 4. Collect like terms using reindexing.
Solution: u(x, y) = const where
Condition: My = Nx Nonhomogeneous Case 5. Find recurrence relation.
du = ∂u
∂x
dx + ∂u∂y
dy
∂u
= M (x, y), ∂u
= N (x, y) 6. Solve for coefficients and insert in y(x) series.
∂x ∂y Given y1 (x) satisfies L[y] = 0, find solution of L[y] = f as
v(x) = v(x)y1 (x). z = v 0 satisfies a first order linear ODE.
Non-Exact Form Ordinary and Singular Points
µ(x, y) (M (x, y) dx + N (x, y) dy) = du(x, y) Method of Variation of Parameters y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = 0. x0 is a
My = Nx yp (x) = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) Ordinary point: a(x), b(x) real analytic in |x − x0 | < R
c01 (x)y1 (x) + c02 (x)y2 (x) = 0 Regular singular point: (x − x0 )a(x), (x − x0 )2 b(x) have
N ∂µ
∂x
− M ∂µ
∂y
= µ ∂M ∂y
− ∂N∂x
.
f (x)
c01 (x)y10 (x) + c02 (x)y20 (x) = a(x) convergent Taylor series about x = x0 .
Special cases
M −N R Irregular singular point: Not ordinary or regular singular
If yM x = h(y), then µ(y) = exp h(y) dy point.
My −Nx R Applications
If N
= −h(x), then µ(y) = exp h(x) dx
Free Fall Frobenius Method
P∞
Second Order Equations x00 (t) = −g 1. Let y(x) = c (x
n=0 n
− x0 )n+r .
v 0 (t) = −g + f (v)
Linear 2. Obtain indicial equation r(r − 1) + a0 r + b0 .
a(x)y 00 (x) + b(x)y 0 (x) + c(x)y(x) = f (x) Population Dynamics 3. Find recurrence relation based on types of roots of
y(x) = yh (x) + yp (x) P 0 (t) = kP (t) indicial equation.
yh (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) P 0 (t) = kP (t) − bP 2 (t) 4. Solve for coefficients and insert in y(x) series.
Constant Coefficients Newton’s Law of Cooling
ay 00 (x) + by 0 (x) + cy(x) = f (x) Laplace Transforms
T 0 (t) = −k(T (t) − Ta )
y(x) = erx ⇒ ar2 + br + c = 0 Transform Pairs
Cases Oscillations c
c
Distinct, real roots: r = r1,2 , yh (x) = c1 er1 x + c2 er2 x mx00 (t) + kx(t) = 0 s
1
One real root: yh (x) = (c1 + c2 x)erx mx00 (t) + bx0 (t) + kx(t) = 0 eat , s>a
s−a
Complex roots: r = α ± iβ, yh (x) = (c1 cos βx + c2 sin βx)eαx mx00 (t) + bx0 (t) + kx(t) = F (t) n!
tn , s>0
Types of Damped Oscillation sn+1
ω
Cauchy-Euler Equations Overdamped, b2 > 4mk sin ωt
s2 + ω 2
ax2 y 00 (x) + bxy 0 (x) + cy(x) = f (x) Critically Damped, b2 = 4mk s
cos ωt
y(x) = xr ⇒ ar(r − 1) + br + c = 0 Underdamped, b2 < 4mk s2 + ω 2
a
Cases sinh at
s2 − a2
Distinct, real roots: r = r1,2 , yh (x) = c1 xr1 + c2 xr2 Numerical Methods cosh at
s
One real root: yh (x) = (c1 + c2 ln |x|)xr s2 − a2
Euler’s Method e−as
Complex roots: r = α ± iβ, y0 = y(x0 ), H(t − a) , s>0
s
yh (x) = (c1 cos(β ln |x|) + c2 sin(β ln |x|))xα yn = yn−1 + ∆xf (xn−1 , yn−1 ), n = 1, . . . , N. δ(t − a) e−as , a ≥ 0, s > 0
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper FreshStick6969. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor $4.19. Je zit daarna nergens aan vast.