H1 inleiding tot waarschijnlijkheid
1. Een gebeurtenis is een deelverzameling van de steekproefruimte
2. Wetten van de Morgan:
( A ∪ B )C = AC ∩ BC en ( A ∩ B )C =A C ∪BC
3. Distributiviteit
A ∩ ( B∪C )=( A ∩ B) ∪( A ∩C )
4. P ( A ∪ B ∪C )=P ( A ) + P ( B ) + P ( C )−P ( A ∩ B ) −P ( B ∩C )−P ( A ∩ C ) + P( A ∩ B ∩C)
5. Massafunctie slaat op één element uit de steekproefruimte dus bv f(s)
6. Waarschijnlijkheidsmaat P slaat op een gebeurtenis een deelverzameling van de
steekproefruimte
7. Eenvoudige steekproefruimte alle elementen hebben dezelfde
8. waarschijnlijkheid
H2 conditionele waarschijnlijkheid
1. P ( A 1 ∩ A 2 ∩ … A n )=P ( A ) ∙ P ( A2| A 1) ∙ … ∙ P ( A n| A 1 ∩ A 2 ∩ An−1 ) zie verband met
bomen(als je weet dat A1…An onafhankelijk is dan kan je gewoon de schrijven =
P(A1)∙…..∙P(An))
2. Wet van totale waarschijnlijkheid nog niet onbelangrijk!!!(wordt vervolgd in thema 3) P(A)
= P( P ( K 1 ) + P ( K n ) +…+ P( K n) met kn de partities van de steekproefruimte
3. Stelling van Bayes kan ook worden gebruik om een omgekeerde conditionele
waarschijnlijkheidsmaat.
4. Stel dat A en B onafhankelijk zijn dan zijn Ac en B dat ook en daaruit volgt dat A C en BC ook
onafhankelijk zijn
1
, H3 toevallige veranderlijken
1. fY= ∫ f X ,Y (x , y )dx = ∫ f Y ∨X ( y ∨x)f X ( x)dx
2. wanneer X en Y afhankelijk zijn en met andere woorden dus geen RH vormen. Kan f Y ∨X ( y|x )
gevonden worden door de regel van bayes toe te passen dan krijgen we de volgende vgl:
f X ∨Y ( x , y )
f Y ∨X ( y|x ) =
f ( y)
3. fractielen opletten want voor een fractiel geldt steeds dat het de eerste waarde van x is
waarvoor alpha wordt bereikt dus oneindig is geen alpha = 1 fractiel het alpha 1 fractiel is
dus de allereerste waarde waarvoor geldt dat de distributiefunctie gelijk is aan 1
4. Transformaties van toevallige veranderlijke: (er moet wel een bijectief verband tussen x en y
bestaan)
a. Bij discrete toevalliger veranderlijken worden de densiteiten gegeven door x te
veranderen in de functie waaraan x gelijk is
b. Bij continu toevallige veranderlijken is de densiteit van de nieuwe reële toevallige
veranderlijke gelijk aan de densiteit van de functie waaraan x gelijk is maal de
Jacobiaan die gevonden wordt door de functie waaraan x gelijk is af te leiden naar
y(zo Jacobiaan van in ANA 2) let hierbij goed op het bestaansgebied van Y
c. Nog een extra stelling die waarschijnlijk wel is van pas komt : wanneer je
verschillende onafhankelijke toevallige veranderlijken X 1 X2 … Xk hebt dan geldt dat Y1
Y2 … Yk ook onafhankelijk zijn als er een bijectieve afbeelding loopt tussen de 2
5. Opletten bij een discrete functie is P(X=iets)=f X(iets) bij continu is dat niet zo
6. Als x en y logisch onafhankelijk of onafhankelijk zijn dan wil dat niet zeggen dat u en v
functies van X en Y dat per definitie ook zijn
2
1. Een gebeurtenis is een deelverzameling van de steekproefruimte
2. Wetten van de Morgan:
( A ∪ B )C = AC ∩ BC en ( A ∩ B )C =A C ∪BC
3. Distributiviteit
A ∩ ( B∪C )=( A ∩ B) ∪( A ∩C )
4. P ( A ∪ B ∪C )=P ( A ) + P ( B ) + P ( C )−P ( A ∩ B ) −P ( B ∩C )−P ( A ∩ C ) + P( A ∩ B ∩C)
5. Massafunctie slaat op één element uit de steekproefruimte dus bv f(s)
6. Waarschijnlijkheidsmaat P slaat op een gebeurtenis een deelverzameling van de
steekproefruimte
7. Eenvoudige steekproefruimte alle elementen hebben dezelfde
8. waarschijnlijkheid
H2 conditionele waarschijnlijkheid
1. P ( A 1 ∩ A 2 ∩ … A n )=P ( A ) ∙ P ( A2| A 1) ∙ … ∙ P ( A n| A 1 ∩ A 2 ∩ An−1 ) zie verband met
bomen(als je weet dat A1…An onafhankelijk is dan kan je gewoon de schrijven =
P(A1)∙…..∙P(An))
2. Wet van totale waarschijnlijkheid nog niet onbelangrijk!!!(wordt vervolgd in thema 3) P(A)
= P( P ( K 1 ) + P ( K n ) +…+ P( K n) met kn de partities van de steekproefruimte
3. Stelling van Bayes kan ook worden gebruik om een omgekeerde conditionele
waarschijnlijkheidsmaat.
4. Stel dat A en B onafhankelijk zijn dan zijn Ac en B dat ook en daaruit volgt dat A C en BC ook
onafhankelijk zijn
1
, H3 toevallige veranderlijken
1. fY= ∫ f X ,Y (x , y )dx = ∫ f Y ∨X ( y ∨x)f X ( x)dx
2. wanneer X en Y afhankelijk zijn en met andere woorden dus geen RH vormen. Kan f Y ∨X ( y|x )
gevonden worden door de regel van bayes toe te passen dan krijgen we de volgende vgl:
f X ∨Y ( x , y )
f Y ∨X ( y|x ) =
f ( y)
3. fractielen opletten want voor een fractiel geldt steeds dat het de eerste waarde van x is
waarvoor alpha wordt bereikt dus oneindig is geen alpha = 1 fractiel het alpha 1 fractiel is
dus de allereerste waarde waarvoor geldt dat de distributiefunctie gelijk is aan 1
4. Transformaties van toevallige veranderlijke: (er moet wel een bijectief verband tussen x en y
bestaan)
a. Bij discrete toevalliger veranderlijken worden de densiteiten gegeven door x te
veranderen in de functie waaraan x gelijk is
b. Bij continu toevallige veranderlijken is de densiteit van de nieuwe reële toevallige
veranderlijke gelijk aan de densiteit van de functie waaraan x gelijk is maal de
Jacobiaan die gevonden wordt door de functie waaraan x gelijk is af te leiden naar
y(zo Jacobiaan van in ANA 2) let hierbij goed op het bestaansgebied van Y
c. Nog een extra stelling die waarschijnlijk wel is van pas komt : wanneer je
verschillende onafhankelijke toevallige veranderlijken X 1 X2 … Xk hebt dan geldt dat Y1
Y2 … Yk ook onafhankelijk zijn als er een bijectieve afbeelding loopt tussen de 2
5. Opletten bij een discrete functie is P(X=iets)=f X(iets) bij continu is dat niet zo
6. Als x en y logisch onafhankelijk of onafhankelijk zijn dan wil dat niet zeggen dat u en v
functies van X en Y dat per definitie ook zijn
2
