Multivariable Calculus, Linear Algebra, and Differential Equations
Los espacios vectoriales son probablemente las estructuras matemáticas más comunes que podemos encontrar. Todos los fenómenos calificados como “lineales” en multitud de contextos están vinculados de algún modo a un espacio vectorial, lo que da una idea de su importancia. Por otra parte, so...
10.1 Introducción.
El origen del concepto de espacio vectorial está vinculado a los trabajos de matemáticos del s. XVII en
geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales, aunque la formulación axiomática actual
se debe al matemático italiano Giuseppe Peano a finales del s. XIX, que había estudiado profundamente
la obra del alemán Hermann Grassmann de mediados del mismo siglo, en el que de manera no formal se
establecen las ideas principales de lo que hoy conocemos como Álgebra Lineal.
GIUSEPPE PEANO (1858-1932)
(Cuneo, actual Italia, 1858 - Turín, 1932) Matemático italiano. Estudió en
la Universidad de Turín, ciudad a la que su familia se había trasladado en
1870. Sus aportaciones más recordadas son las referentes a la axiomática de las
matemáticas. A ese respecto cabe destacar sus axiomas sobre el conjunto de
los números enteros naturales o sobre la estructura de un espacio vectorial, así
como la definición del concepto de aplicación lineal.
Los espacios vectoriales son probablemente las estructuras matemáticas más comunes que podemos
encontrar. Todos los fenómenos calificados como “lineales” en multitud de contextos están vinculados de
algún modo a un espacio vectorial, lo que da una idea de su importancia. Por otra parte, son estructuras
muy sencillas que entrañan una interesante diversidad de propiedades, algunas de las cuales veremos en
esta entrega.
Posiblemente el lector habrá manejado con anterioridad el concepto de vector, bien sea como elemento
geométrico para determinar direcciones, o bien como un objeto que permite representar determinadas
magnitudes físicas como la velocidad o la fuerza. En estos casos, el vector se representa como una “flecha”
que determina unas características propias como son su módulo, dirección y sentido. Esta representación es
útil para “visualizar” ciertos conceptos y propiedades, pero es completamente inadecuada cuando tratamos
con otro tipo de objetos que también son vectores, como veremos a lo largo de esta entrega.
10.2 La estructura de espacio vectorial.
Con objeto de poder tratar cualquier tipo de vector con independencia de su naturaleza, usando simple-
mente las propiedades intrínsecas que poseen debido a su pertenencia a un espacio vectorial, hemos de
hacer un esfuerzo en tratar todos estos conceptos de forma abstracta; la definición de espacio vectorial
es una buena muestra de ello. Invitamos al estudiante para que entienda el significado de la definición a
través de los ejemplos que le siguen.
Sea V un conjunto no vacío y definamos sobre V dos operaciones: la suma y la multiplicación por
un escalar, sea F el cuerpo de escalares, es decir, F = R o F = C. Consideramos, así,
Un espacio vectorial V es un conjunto de objetos, denominadores vectores, junto con
dos operaciones denominadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez
axiomas siguientes
1. Cerradura bajo la suma : Si x, y ∈ V , entonces x + y ∈ V .
2. Ley asociativa de la suma de vectores : Para todo x, y, z ∈ V , entonces
x+y +z = x+ y+z .
3. Ley conmutativa de la suma : Si x, y ∈ V , entonces
x + y = y + x.
4. Existencia del elemento neutro para la suma : Existe un vector 0 ∈ V , tal que
para todo x ∈ V , se tiene que
x + 0 = 0 + x = x.
5. Existencia del elemento inverso aditivo : Si x ∈ V , existe un vector −x en V ,
tal que
x + −x = 0.
6. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar : Si x ∈ V y α ∈ F , F cuerpo
de escalares, entonces αx ∈ V .
7. Primera ley distributiva : Si x, y ∈ V y α ∈ F , F cuerpo de escalares, entonces
α x + y = αx + αy.
8. Segunda ley distributiva : Si x ∈ V y α, β ∈ F , F cuerpo de escalares, entonces
α + β x = αx + βx.
9. Ley asociativa de la multiplicación por escalares : Si x ∈ V y α, β ∈ F , F
cuerpo de escalares, entonces
αβ x = α βx .
10. Para cada vector x ∈ V , entonces 1x = x.
Observemos que para definir un espacio vectorial, primero que nada se debe tener un conjunto NO
vacío, luego definir sobre ese conjunto dos operaciones, la suma y la multiplicación por un escalar, y por
último un cuerpo de escalares.
El espacio vectorial clásico es el conjunto de los números reales, V = R, con las operaciones
tradicionales de suma y producto, sobre el cuerpo de escalares F = R.
Última actualización: Junio 2021 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
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