Summary

Sumario Espacio vectorial

0 purchase

Course
Matemáticas III (MA1116)

Institution
Universidad Simón Bolívar

Book
Multivariable Calculus, Linear Algebra, and Differential Equations

Los espacios vectoriales son probablemente las estructuras matemáticas más comunes que podemos encontrar. Todos los fenómenos calificados como “lineales” en multitud de contextos están vinculados de algún modo a un espacio vectorial, lo que da una idea de su importancia. Por otra parte, so...

[Show more]

Preview 2 out of 9 pages

View example

Summarized whole book? No
Which chapters are summarized? 5
Uploaded on December 15, 2021
Number of pages 9
Written in 2021/2022
Type Summary

espacio vectorial
vectores
matrices
matriz
matrix
math
mathematics
matemáticas

Book Title:Multivariable Calculus, Linear Algebra, and Differential Equations

Author(s):Stanley I. Grossman

Edition:2014
ISBN:9781483218038
Edition:Unknown

Institution
Universidad Simón Bolívar
Course
Matemáticas III (MA1116)

$6.49

Add to cart

Save

100% satisfaction guarantee
Immediately available after payment
Both online and in PDF
No strings attached

Espacio vectorial - Sección 10
Clase 10 : Espacio vectorial.

10.1 Introducción.
El origen del concepto de espacio vectorial está vinculado a los trabajos de matemáticos del s. XVII en
geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales, aunque la formulación axiomática actual
se debe al matemático italiano Giuseppe Peano a finales del s. XIX, que había estudiado profundamente
la obra del alemán Hermann Grassmann de mediados del mismo siglo, en el que de manera no formal se
establecen las ideas principales de lo que hoy conocemos como Álgebra Lineal.

GIUSEPPE PEANO (1858-1932)

(Cuneo, actual Italia, 1858 - Turín, 1932) Matemático italiano. Estudió en
la Universidad de Turín, ciudad a la que su familia se había trasladado en
1870. Sus aportaciones más recordadas son las referentes a la axiomática de las
matemáticas. A ese respecto cabe destacar sus axiomas sobre el conjunto de
los números enteros naturales o sobre la estructura de un espacio vectorial, así
como la definición del concepto de aplicación lineal.

Los espacios vectoriales son probablemente las estructuras matemáticas más comunes que podemos
encontrar. Todos los fenómenos calificados como “lineales” en multitud de contextos están vinculados de
algún modo a un espacio vectorial, lo que da una idea de su importancia. Por otra parte, son estructuras
muy sencillas que entrañan una interesante diversidad de propiedades, algunas de las cuales veremos en
esta entrega.

Posiblemente el lector habrá manejado con anterioridad el concepto de vector, bien sea como elemento
geométrico para determinar direcciones, o bien como un objeto que permite representar determinadas
magnitudes físicas como la velocidad o la fuerza. En estos casos, el vector se representa como una “flecha”
que determina unas características propias como son su módulo, dirección y sentido. Esta representación es
útil para “visualizar” ciertos conceptos y propiedades, pero es completamente inadecuada cuando tratamos
con otro tipo de objetos que también son vectores, como veremos a lo largo de esta entrega.

10.2 La estructura de espacio vectorial.
Con objeto de poder tratar cualquier tipo de vector con independencia de su naturaleza, usando simple-
mente las propiedades intrínsecas que poseen debido a su pertenencia a un espacio vectorial, hemos de
hacer un esfuerzo en tratar todos estos conceptos de forma abstracta; la definición de espacio vectorial
es una buena muestra de ello. Invitamos al estudiante para que entienda el significado de la definición a
través de los ejemplos que le siguen.

Sea V un conjunto no vacío y definamos sobre V dos operaciones: la suma y la multiplicación por
un escalar, sea F el cuerpo de escalares, es decir, F = R o F = C. Consideramos, así,

V, +, ·, F .

, Espacio vectorial - Sección 10. Clase 10 : Espacio vectorial. 2

Definición 10.1 (Espacio vectorial).

Un espacio vectorial V es un conjunto de objetos, denominadores vectores, junto con
dos operaciones denominadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez
axiomas siguientes

1. Cerradura bajo la suma : Si x, y ∈ V , entonces x + y ∈ V .

2. Ley asociativa de la suma de vectores : Para todo x, y, z ∈ V , entonces

x+y +z = x+ y+z .

3. Ley conmutativa de la suma : Si x, y ∈ V , entonces

x + y = y + x.

4. Existencia del elemento neutro para la suma : Existe un vector 0 ∈ V , tal que
para todo x ∈ V , se tiene que

x + 0 = 0 + x = x.

5. Existencia del elemento inverso aditivo : Si x ∈ V , existe un vector −x en V ,
tal que
x + −x = 0.

6. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar : Si x ∈ V y α ∈ F , F cuerpo
de escalares, entonces αx ∈ V .

7. Primera ley distributiva : Si x, y ∈ V y α ∈ F , F cuerpo de escalares, entonces

α x + y = αx + αy.

8. Segunda ley distributiva : Si x ∈ V y α, β ∈ F , F cuerpo de escalares, entonces

α + β x = αx + βx.

9. Ley asociativa de la multiplicación por escalares : Si x ∈ V y α, β ∈ F , F
cuerpo de escalares, entonces
αβ x = α βx .

10. Para cada vector x ∈ V , entonces 1x = x.

Observemos que para definir un espacio vectorial, primero que nada se debe tener un conjunto NO
vacío, luego definir sobre ese conjunto dos operaciones, la suma y la multiplicación por un escalar, y por
último un cuerpo de escalares.

El espacio vectorial clásico es el conjunto de los números reales, V = R, con las operaciones
tradicionales de suma y producto, sobre el cuerpo de escalares F = R.

Última actualización: Junio 2021 Farith J. Briceño N.

The benefits of buying summaries with Stuvia:

Guaranteed quality through customer reviews

Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.

Quick and easy check-out

You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.

Focus on what matters

Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!

Frequently asked questions

What do I get when I buy this document?

You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.

Satisfaction guarantee: how does it work?

Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.

Who am I buying these notes from?

Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller juanandrscuevas. Stuvia facilitates payment to the seller.

Will I be stuck with a subscription?

No, you only buy these notes for $6.49. You're not tied to anything after your purchase.

Can Stuvia be trusted?

4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)

66184 documents were sold in the last 30 days

Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 15 years now

Start selling

Summary

Sumario Espacio vectorial

Document information

Subjects

Connected book

Written for

Seller

Content preview