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Cours de Maths 1ère année EPITA
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MathématiquesCours de Sup
,Table des matières
1 Révisions et compléments sur les complexes 7
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Forme trigonométrique et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Equations du second degré à coefficients complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Racines carrées d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Equations du second degré à coefficients complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Racines nème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Révisions et compléments sur l’intégration 11
2.1 Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Méthodes de calcul de primitives ou d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Intégration par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Fonctions d’une variable réelle 17
3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3 Fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Notions de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Voisinage d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2 Fonction définie au voisinage d’un réel ou de l’infini . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.3 Limite finie d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.4 Autres types de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
, 3.3.2 Image d’un segment par une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.3 Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.4 Extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Théorèmes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5.1 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Comparaison locale de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6.1 Définitions des notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.1 Théorème de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.2 Définition d’un développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7.4 Applications des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Equations différentielles 33
4.1 Equations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.2 Résolution de (E0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.3 Résolution de (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants . . . . . 36
4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.2 Résolution de (E0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.3 Cas où le second membre est de type polynôme ou exponentielle-polynôme 38
5 Logique 41
5.1 Sur les propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.2 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.3 Implication, réciproque, équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.4 Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Raisonnements mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.1 Raisonnements directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.2 Raisonnements par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.3 Raisonnements par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2
, 5.2.4 Raisonnements par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Arithmétique dans Z 49
6.1 Divisibilité dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1.1 Diviseurs, multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1.2 Division euclidienne dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2 PGCD (et PPCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.3 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2.4 Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2.5 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Nombres premiers dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.2 L’ensemble P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.3 Décomposition en produit de facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4 L’ensemble Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4.1 Congruence dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4.2 L’ensemble Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4.3 Structure de corps de Z/nZ quand n est premier . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4.4 Petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7 Polynômes 65
7.1 Ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans K . . . . . . . 65
7.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.1.2 Somme de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.1.3 Multiplication externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1.4 Multiplication interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1.5 Ecriture définitive d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.1.6 Autres opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.1.7 Fonction polynômiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2 Arithmétique dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2.1 Divisibilité dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2.2 Division euclidienne dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2.3 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3
, 7.3.3 Ordre de multiplicité d’une racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.3.4 Polynômes irréductibles dans R[X] et C[X] (admis) . . . . . . . . . . . . . 75
8 Suites numériques 77
8.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1.2 Définitions liées à l’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2 Convergence et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.2.3 Propriétés des suites convergentes ou divergentes . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2.4 Théorème de Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.3 Limite et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.3.1 Passage à la limite dans les inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.3.2 Théorème des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.4 Opérations sur les limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.4.1 Pour les suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.4.2 Pour les suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.5 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.5.1 Propriétés des suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.5.2 Les suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.6 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.6.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.6.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.6.3 Le théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.7 Suites récurrentes du type un+1 = f (un ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.7.1 Etude générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.7.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.8 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.8.1 Relations de prépondérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.8.2 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.8.3 Développements limités et développements asymptotiques . . . . . . . . . 98
9 Espaces vectoriels 100
9.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.1.1 Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.1.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4
, 9.1.4 Sous-espace vectoriel engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.1.4.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.2 Familles libres, familles génératrices, bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . 109
9.2.1 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.2.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.2.3 Les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.3.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.3.3 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.3.4 Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.4 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.4.2 Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . 118
9.4.3 CNS pour qu’une famille de vecteurs de E soit une base de E . . . . . . . 119
9.4.4 Le théorème de la base incomplète et ses conséquences . . . . . . . . . . . 120
9.4.5 Le théorème du rang et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10 Matrices 123
10.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.1.2 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.1.3 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.1.4 Inverse d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.2.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.2.2 Interprétation matricielle de v = f (u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.2.3 Matrice de g ◦ f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.2.4 Matrice de la réciproque d’une application linéaire quand elle est bijective 132
11 Fractions rationnelles 134
11.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.1.1 Définitions et règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.1.2 Représentant irréductible d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . 135
11.1.3 Degré d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.1.4 Racines et pôles d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.1.5 Un outil : la division suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . 137
11.2 Partie entière d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5
, 11.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.2.2 Méthode de recherche de la partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.3 Décomposition en éléments simples d’une fractions rationnelle . . . . . . . . . . . 139
11.3.1 Théorème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.3.2 Méthodes pour trouver les coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.3.2.1 Cas des pôles simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.3.2.2 Cas des pôles multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11.3.2.3 Cas des éléments de seconde espèce . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6
, Chapitre 1
Révisions et compléments sur les
complexes
1.1 Définitions
Définition 1
On appelle nombre complexe tout nombre de la forme a+ib où (a, b) ∈ R2 et i2 = −1. L’ensemble
des nombres complexes est noté C.
Si z = a + ib ∈ C, a est appelé partie réelle de z (notée Re(z)) et b partie imaginaire de z (notée
Im(z)).
Remarques
1. Les règles sur les opérations sont identiques à celle de R avec la condition supplémentaire
i2 = −1.
Par exemple si z1 = 1 + 2i et z2 = 4 − 3i alors z1 + z2 = 5 − i et z1 z2 = 10 + 5i.
2. z1 = z2 ⇐⇒ Re(z1 ) = Re(z2 ) et Re(z1 ) = Re(z2 ).
En particulier a + ib = 0 ⇐⇒ a = 0 et b = 0.
Définition 2
Soit z = a + ib ∈ C. On appelle conjugué de z le nombre complexe noté z défini par z = a − ib.
Proposition 1
Soit (z, z ′ ) ∈ C2 . Alors
z+z z+z
1. Re(z) = et Im(z) =
2 2i
2. z ∈ R ⇐⇒ z = z et z ∈ iR ⇐⇒ z = −z
7
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