Samenvatting - Statistical Physics for the Minor ( TN2625) - Minor Modern Physics
12 vues 0 achat
Cours
Statistical Physics for the Minor (TN2625)
Établissement
Technische Universiteit Delft (TU Delft)
Book
An Introduction to Thermal Physics
Bij Statistische Mechanica voor the minor (Statistical Physics for the Minor, TN2625) wordt ingegaan op temperatuur, entropie, warmtecapaciteit en energie op een moleculair niveau voor een two-state paramagnet, ideaal gas en Einstein solid. Ook wordt de quantumstatistiek behandeld in het kader van ...
Statistische mechanica
Statistische mechanica is de brug tussen de microscopische en macroscopische wereld.
De statistische mechanica verklaart de thermodynamische wetten vanuit het gedrag van
grote hoeveelheden moleculen m.b.v. statistiek. In de statistische mechanica worden
vaak interacties tussen de moleculen verwaarloosd.
Thermodynamische systemen
Geïsoleerd systeem Geen massa-uitwisseling en energie-uitwisseling
Gesloten systeem Geen massa-uitwisseling, wel energie-uitwisseling
Open systeem Zowel massa-uitwisseling als energie-uitwisseling
Basis in statistiek
Een microstaat is een staat waarin elk los onderdeel van het systeem zich kan bevinden
(kop of munt, energieniveaus, etc.). De kans hierop is:
1
Kans op een microstaat = . De fundamentele aanname van de
# mogelijke microstaten
statistische mechanica is dat alle microstaten even plausibel zijn.
De macrostaat is een eigenschap van het totale systeem (aantal koppen, energie, etc.).
Een macrostaat kan vaak op meerdere manieren uit microstaten gegenereerd worden. Dit
Ω(n)
aantal heet de multipliciteit ( Ω ). De kans op een macrostaat is: Pn = .
Ω ( all )
⎛ N ⎞ n
Voor identieke systemen luidt de binomale verdeling: Pr ( n ) = ⎜ p (1− p )
N −n
⎟ met
⎝ n ⎠
⎛ N ⎞ N!
Ω=⎜ ⎟ = om n bepaalde staten te krijgen bij N objecten met p de kans op
⎝ n ⎠ n!( N − n )!
staat n .
Uit de binomale distributie volgt dat de grootste kans is op de positie in het midden. De
breedte van de distributie neemt toe absoluut toe als het aantal objecten toeneemt maar
σ 1
relatief af t.o.v. het aantal objecten, ∝ .
N N
Two state paramagnet
Dit systeem bestaat uit N magnetische dipolen die omhoog ( N ↑ ) of omlaag ( N ↓ ) wijzen.
⎛ N ⎞
(
De macrostaat wordt gegeven door: M = N ↑ − N ↓ met als multipliciteit Ω N, N ↑ = ⎜ ) ⎟.
⎝ N↑ ⎠
Het aantal microstaten komt al snel in de buurt van het getal van Avogadro waardoor dit
niet exact is op te lossen (zelfs niet met supercomputers).
Stirlings benadering
Stirlings benadering is een manier om een faculteit te benaderen en wordt accuraat
gegeven door: N! ≈ N N e− N 2π N voor N > 100 . Voor nog grotere getallen geldt dat:
ln ( N!) ≈ N ln ( N ) − N + ln ( 2π N ) / 2 ≈ N ln ( N ) − N .
Pagina 2 van 17
, TN2625 SAMENVATTING
N!
We definiëren: ∂N = N ↑ − N / 2 = M / 2 zodat in Ω ( N,∂N ) = de
⎛N ⎞ ⎛N ⎞
⎜⎝ + ∂N ⎟⎠ !⎜⎝ − ∂N ⎟⎠ !
2 2
x2
taylorbenadering ln (1+ x ) ≈ x − gebruikt kan worden. Hieruit volgt:
2
2 N +1 −2( ∂ N )2 /N
Ω ( N,∂N ) ≈ = Ω ( N,0 ) e−2( ∂ N ) /N wat een Gaussische distributie is.
2
e
2π N
Vrijheidsgraden
Echte wereld: 6 (3 translatie en 3 rotatie)
Mono-atomisch gas: 3 (enkel translatie)
Diatomisch gas: 5 (3 translatie en 2 rotatie, immers symmetrie in binding)
Vaste stof: 3 (trillingen in translatierichtingen)
Einstein model van een vaste stof
Dulong-Petit beschreef dat bij hoge temperaturen geldt: CV = 3NkB . Bij lage temperaturen
gaat de warmtecapaciteit echter naar 0. Einstein beschreef dit kwantummechanisch door
een vaste stof voor te stellen als 3 harmonische oscillatoren (in elke richting 1) waarin
energiequanta liggen opgeslagen. Deze energiequanta hebben energie: U = qhf = qε . Elke
harmonische oscillator heeft 2 vrijheidsgraden (potentiële en kinetische energie).
In het Einstein model is er ook sprake van multipliciteit omdat de totale energie vrij
verdeeld mag worden over de 3 oscillatoren. Het totaal aantal combinaties met q kwanta
⎛ q + N − 1 ⎞ ( q + N − 1)!
is q + N − 1 . Dit levert op voor de binomale distributie: Ω ( N,q ) = ⎜ ⎟=
⎝ q ⎠ q!( N − 1)!
Grote getallen
Om materialen te kunnen beschrijven werken we met grote getallen waardoor er
benaderingen nodig zijn.
⎛ q + N − 1 ⎞ ( q + N − 1)! ( q + N )! N
Ω ( N,q ) = ⎜ ⎟= = voor N >> 1
⎝ q ⎠ q!( N − 1)! q!N! N + q
Vanuit Stirlings benadering volgt:
⎛ ⎛ q ⎞⎞ ⎛ q⎞
ln ( N + q ) = ln ⎜ N ⎜ 1+ ⎟ ⎟ = ln ( N ) + ln ⎜ 1+ ⎟ of
⎝ ⎝ N ⎠⎠ ⎝ N⎠
⎛ ⎛ N ⎞⎞ ⎛ N⎞
ln ( N + q ) = ln ⎜ q ⎜ 1+ ⎟ ⎟ = ln ( q ) + ln ⎜ 1+ ⎟
⎝ ⎝ q ⎠⎠ ⎝ q⎠
Nu moet gekozen worden voor N >> q (bij lage temperaturen) of q >> N (hoge
temperaturen).
Stel: q >> N dan volgt: ln ( ΩHT ) ≈ N + N ln ( q ) − N ln ( N ) + termen veel kleiner dan N dus
N
N +N ln( q )−N ln( N ) ⎛ qe ⎞
ΩHT = e =⎜ ⎟
⎝N⎠
N
⎛ Ne ⎞
Stel N >> q dan volgt: ΩLT = ⎜ ⎟
⎝ q ⎠
Pagina 3 van 17
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur markheezen. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour $10.35. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
