Volledige samenvatting voor het vak Wiskunde met bedrijfseconomische toepassingen (theorie). Het boek en notities van in de les staan erin. Naar bewijzen is enkel gerefereerd maar deze staan altijd letterlijk in de cursus.
, 1.1 Bepaalde en onbepaalde integralen
2.1Partities, boven- en ondersommen
Herhaling: definities toegepast op een deelverzameling V van R , en de orderelatie “≤ ”
- Een element v ∈V is een maximaal element van V als, x ≤ v voor alle x ∈ V .
Een element v ∈V is een minimaal element van V als, v ≤ x voor alle x ∈ V .
- Een element a ∈ R is een bovengrens van V als, x ≤ a voor alle x ∈ V .
Een element a ∈ R is een ondergrens van V als, a ≤ x voor alle x ∈ V .
Beschouw nu de deelverzameling C van R die bestaat uit alle bovengrenzen van V.
- We noemen s ∈ R het supremum van V indien s het minimale element is van C.
Analoog, beschouw de deelverzameling D van R die bestaat uit alle ondergrenzen van V.
- We noemen i∈ R het infimum van V indien i het maximale element is van D.
Stelling: Als een deelverzameling V van R naar boven begrensd is, dan heeft V een supremum. Als V
naar beneden begrens is, dan heeft V een infimum.
Definitie: Een partitie P v/e gesloten interval [ a , b ] is een verzameling getallen { x 0 , x 1 , … , x n } met
x 0=a< x1 < …< x n=b .
De unie v/d deelintervallen ¿ en [ x n−1 , x n ] vormt dan het volledige interval [ a , b ].
Beschouw een functie f die begrensd is op [ a , b ]. Stel dat er een partitie P gegeven is op [ a , b ] en
beschouw in elk deelinterval het infimum en het supremum v/d functiewaarden,
¿
m k =inf ¿, Mk= ¿
Er geldt dan m k ≤ M k .
We beschouwen een functie met f ( x ) >0 op [ a , b ].
Beschouw rechthoeken vertrekkende uit de X-as met hoogte m k en breedte ∆ x k =x k −x k−1.
De som v/d oppervlaktes van al deze rechthoeken zal de “oppervlakte” onder de functie f op het
interval [ a , b ] benaderen.
Aangezien de oppervlakte van één dergelijke rechthoek gelijk is aan m k ∆ x k , is die benadering
n
OP ,f =∑ mk ∆ x k Deze som wordt de ondersom voor de Partitie P genoemd.
k=1
n
Analoog is BP ,f =∑ M k ∆ x k de bovensom voor de partitie P.
k=1
Het is duidelijk dat O P ,f ≤ oppervlakte f(x) ≤ B P , f .
Dit kan herhaald worden voor functies waarvan de beeldwaarde niet noodzakelijke strikt positief is.
2.2Bepaalde integralen
De definities hangen af v/d keuze v/d partitie.
Wanneer we aan P meer punten toevoegen krijgen we een nieuwe partitie P’. Er zal dan gelden:
OP ,f ≤ OP ' , f en BP ,f ≥ B P ' , f .
Voor 2 willekeurige partities P1 en P2 van hetzelfde interval steeds:
OP ,f ≤ B P , f
1 2
en OP ,f ≤ B P , f .
2 1
De allereenvoudigste (of ruwste) partitie is die waarbij P2={a , b }.
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller hannedierckx. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.90. You're not tied to anything after your purchase.
