Wiskunde 2.2
Wat is probleemoplossend denken?
“Een wiskundig probleem is een wiskundige opgave binnen een realistische context
waarbij je één of meerdere oplossingen kan vinden”. (definitie)
1.1 Van vraagstukken naar rekenproblemen
Vroeger: vraagstukken= vroeger geziene leerstof integreren in algehele kennis en het geleerde
gebruiken en toepassen in allerlei reële situaties.
Nu: rekenproblemen of wiskundige problemen (= een wiskundige opgave binnen een realistische
context waarbij je 1 of meerdere oplossingen kan vinden)
• “het oplossen van een wiskundig probleem”:
Afwezigheid van automatiseren
Vaak zijn verschillende pogingen noodzakelijk om de oplossing te vinden.
Er kunnen soms meerdere oplossingen zijn voor hetzelfde probleem.
Het vinden van de oplossing duurt langer bij een rekenprobleem dan bij een rekenoefening.
Omdat het niet meer gewoon een formule invullen is.
Een rekenprobleem moet aangepast zijn aan de ontwikkeling van de leerlingen.
Zorg steeds voor een realiteitsgebonden context van problemen.
1.3 leerplannen
We onderstrepen dat zowel de eindtermen als verschillende leerplannen de nadruk leggen op de
volgende doelen:
een algemene strategie voor het vaardig oplossen van wiskundige problemen kennen en kunnen
gebruiken,
specifieke zoekstrategieën kennen en gebruiken,
nadenken over het eigen oplossingsproces en dat proces sturen,
doeltreffende opvattingen en houdingen tegenover het oplossen van wiskundige problemen
ontwikkelen.
Voorbeeld vraagstuk:
Joris en Lien verkopen 200 lootjes. Joris verkoopt 3x zoveel lootjes dan Lien. Hoeveel verkocht elk?
200 : 4= 50
Lien verkoopt er 50 en Joris 150
,Heuristieken
2.1 fasen bij het oplossen van rekenproblenen
Heuristieken = verstandige zoekstrategieën die weliswaar geen garantie bieden op het vinden van de
oplossing van een gegeven probleem, maar die de kans daartoe aanzienlijk vergroten. (definitie)
Het zijn dus hulpmiddelen die je gaan helpen zodat het gemakkelijker is om een oplossing te
vinden.
Vb. een tekening maken
Beste manier om een probleem op te lossen:
Fase 1: “Ik lees” en “Ik begrijp”
stap 1) Het lezen van het probleem
stap 2) Het aanduiden van de (relevante) gegevens
stap 3) Het aanduiden van wat er gevraagd wordt
Fase 2: “Ik zoek” en “Ik los op”
stap 4) De keuze van een strategie, methode of heuristiek
stap 5) Het wiskundig uitvoeren van deze methode
Fase 3: “Ik controleer” en “Ik antwoord”
stap 6) Het formuleren van een antwoord
stap 7) Controle van het antwoord
Fase 4: “Ik reflecteer”
stap 8) Reflectie op het proces of uitbreiding
VB:
Opgave:…………………………………… (Fase 1)
Gegeven:……………………………….. (Fase 1)
Gevraagd …………………………….? (Fase 1)
Oplossing:………………………………(Fase 2)
Antwoord:…Antwoordzin………(Fase 3)
Controle………………………………….(Fase 3)
(Fase 4= achteraf)
Elke rekenhandeling maakt gebruik van zijn eigenstappenplan. Je kan in grote lijnen elk stappenplan
onderverdelen in deze vier fasen en acht stappen.
Fasen bij het oplossen van vraagstukken: mogelijke problemen
- Lln lossen een vraagstuk vaak op een slordige wijze op (zowel in hun hoofd als op papier).
- In veel gevallen vinden we naast een antwoordzin slechts enkele onverzorgde bewerkingen.
- Velen werken te vlug en te oppervlakkig, wat tot fouten leidt die ze kunnen voorkomen.
Aandacht besteden aan een planmatige, gestructureerde werkmethode dringt zich sterk op.
, Heuristiek ≠ algoritme
Algoritme vs Heuristiek
Vaste werkwijze Raadgevend
Verbonden aan een specifiek probleem Niet verbonden aan een specifiek
probleem
Geeft, indien correct toegepast, het Niet oplossingsgaranderend,
juiste resultaat maar verhoogt de kans op het vinden
van de oplossing
Eén algoritme per probleem Voor één probleem kunnen meerdere
heuristieken nodig zijn
Vb. cijferen (doe je altijd op dezelfde Vb. tekening maken (is als hulpmiddel)
manier)
2.2 veel gebruikte heuristieken
- een schematische voorstelling maken
o een schematische voorstelling maken kan helpen om je een goede voorstelling te
maken van een probleem.
o Door de opgave aanschouwelijk voor te stellen kan je het antwoord vlugger vinden.
Op een correct en volledig gemaakte tekening is het antwoord soms zelfs al
onmiddellijk af te lezen.
o Niet de schoonheid van de tekening, maar wel de functionaliteit is van belang. Een
ruwe schets van de gegeven uit de opgave volstaat.
o Er bestaat steeds meer dan 1 tekening om een opgave aanschouwelijk voor te
stellen.
- verhoudingen weergeven
o het opmaken van o.a. een verhoudingstabel en een getallenas kan ervoor zorgen dat
je bij de berekening van je antwoord de benodigde gegevens je in je kolommen zet is
tamelijk willekeurig.
o Probeer de dimensies waaruit de tabel is opgebouwd zo goed mogelijk te kiezen.
o - Het belangrijkste is dat alle relevante gegevens in de tabel correct, volledig en
overzichtelijk worden samengebracht.
o Recht evenredig of omgekeerd evenredig
- systematische lijsten
o Het opmaken van systematische lijstjes (en een boomdiagram) kan helpen om een
probleem aan te pakken en op te lossen.
o - Eenmaal je de regelmaat hebt ontdekt, hoef je niet alle combinaties te noteren om
tot het juiste antwoord te komen.
o - Om een boomdiagram op te stellen vertrek je best van de vraag! Daarna probeer je
je boomdiagram verder aan te vullen. Je kan ook vertrekken van de gegevens en naar
de vraag toewerken. Er bestaat niet één juist boomdiagram voor een bepaalde
opgave.
- probeer verstandig uit
Wat is probleemoplossend denken?
“Een wiskundig probleem is een wiskundige opgave binnen een realistische context
waarbij je één of meerdere oplossingen kan vinden”. (definitie)
1.1 Van vraagstukken naar rekenproblemen
Vroeger: vraagstukken= vroeger geziene leerstof integreren in algehele kennis en het geleerde
gebruiken en toepassen in allerlei reële situaties.
Nu: rekenproblemen of wiskundige problemen (= een wiskundige opgave binnen een realistische
context waarbij je 1 of meerdere oplossingen kan vinden)
• “het oplossen van een wiskundig probleem”:
Afwezigheid van automatiseren
Vaak zijn verschillende pogingen noodzakelijk om de oplossing te vinden.
Er kunnen soms meerdere oplossingen zijn voor hetzelfde probleem.
Het vinden van de oplossing duurt langer bij een rekenprobleem dan bij een rekenoefening.
Omdat het niet meer gewoon een formule invullen is.
Een rekenprobleem moet aangepast zijn aan de ontwikkeling van de leerlingen.
Zorg steeds voor een realiteitsgebonden context van problemen.
1.3 leerplannen
We onderstrepen dat zowel de eindtermen als verschillende leerplannen de nadruk leggen op de
volgende doelen:
een algemene strategie voor het vaardig oplossen van wiskundige problemen kennen en kunnen
gebruiken,
specifieke zoekstrategieën kennen en gebruiken,
nadenken over het eigen oplossingsproces en dat proces sturen,
doeltreffende opvattingen en houdingen tegenover het oplossen van wiskundige problemen
ontwikkelen.
Voorbeeld vraagstuk:
Joris en Lien verkopen 200 lootjes. Joris verkoopt 3x zoveel lootjes dan Lien. Hoeveel verkocht elk?
200 : 4= 50
Lien verkoopt er 50 en Joris 150
,Heuristieken
2.1 fasen bij het oplossen van rekenproblenen
Heuristieken = verstandige zoekstrategieën die weliswaar geen garantie bieden op het vinden van de
oplossing van een gegeven probleem, maar die de kans daartoe aanzienlijk vergroten. (definitie)
Het zijn dus hulpmiddelen die je gaan helpen zodat het gemakkelijker is om een oplossing te
vinden.
Vb. een tekening maken
Beste manier om een probleem op te lossen:
Fase 1: “Ik lees” en “Ik begrijp”
stap 1) Het lezen van het probleem
stap 2) Het aanduiden van de (relevante) gegevens
stap 3) Het aanduiden van wat er gevraagd wordt
Fase 2: “Ik zoek” en “Ik los op”
stap 4) De keuze van een strategie, methode of heuristiek
stap 5) Het wiskundig uitvoeren van deze methode
Fase 3: “Ik controleer” en “Ik antwoord”
stap 6) Het formuleren van een antwoord
stap 7) Controle van het antwoord
Fase 4: “Ik reflecteer”
stap 8) Reflectie op het proces of uitbreiding
VB:
Opgave:…………………………………… (Fase 1)
Gegeven:……………………………….. (Fase 1)
Gevraagd …………………………….? (Fase 1)
Oplossing:………………………………(Fase 2)
Antwoord:…Antwoordzin………(Fase 3)
Controle………………………………….(Fase 3)
(Fase 4= achteraf)
Elke rekenhandeling maakt gebruik van zijn eigenstappenplan. Je kan in grote lijnen elk stappenplan
onderverdelen in deze vier fasen en acht stappen.
Fasen bij het oplossen van vraagstukken: mogelijke problemen
- Lln lossen een vraagstuk vaak op een slordige wijze op (zowel in hun hoofd als op papier).
- In veel gevallen vinden we naast een antwoordzin slechts enkele onverzorgde bewerkingen.
- Velen werken te vlug en te oppervlakkig, wat tot fouten leidt die ze kunnen voorkomen.
Aandacht besteden aan een planmatige, gestructureerde werkmethode dringt zich sterk op.
, Heuristiek ≠ algoritme
Algoritme vs Heuristiek
Vaste werkwijze Raadgevend
Verbonden aan een specifiek probleem Niet verbonden aan een specifiek
probleem
Geeft, indien correct toegepast, het Niet oplossingsgaranderend,
juiste resultaat maar verhoogt de kans op het vinden
van de oplossing
Eén algoritme per probleem Voor één probleem kunnen meerdere
heuristieken nodig zijn
Vb. cijferen (doe je altijd op dezelfde Vb. tekening maken (is als hulpmiddel)
manier)
2.2 veel gebruikte heuristieken
- een schematische voorstelling maken
o een schematische voorstelling maken kan helpen om je een goede voorstelling te
maken van een probleem.
o Door de opgave aanschouwelijk voor te stellen kan je het antwoord vlugger vinden.
Op een correct en volledig gemaakte tekening is het antwoord soms zelfs al
onmiddellijk af te lezen.
o Niet de schoonheid van de tekening, maar wel de functionaliteit is van belang. Een
ruwe schets van de gegeven uit de opgave volstaat.
o Er bestaat steeds meer dan 1 tekening om een opgave aanschouwelijk voor te
stellen.
- verhoudingen weergeven
o het opmaken van o.a. een verhoudingstabel en een getallenas kan ervoor zorgen dat
je bij de berekening van je antwoord de benodigde gegevens je in je kolommen zet is
tamelijk willekeurig.
o Probeer de dimensies waaruit de tabel is opgebouwd zo goed mogelijk te kiezen.
o - Het belangrijkste is dat alle relevante gegevens in de tabel correct, volledig en
overzichtelijk worden samengebracht.
o Recht evenredig of omgekeerd evenredig
- systematische lijsten
o Het opmaken van systematische lijstjes (en een boomdiagram) kan helpen om een
probleem aan te pakken en op te lossen.
o - Eenmaal je de regelmaat hebt ontdekt, hoef je niet alle combinaties te noteren om
tot het juiste antwoord te komen.
o - Om een boomdiagram op te stellen vertrek je best van de vraag! Daarna probeer je
je boomdiagram verder aan te vullen. Je kan ook vertrekken van de gegevens en naar
de vraag toewerken. Er bestaat niet één juist boomdiagram voor een bepaalde
opgave.
- probeer verstandig uit
