In het document vind je de samenvatting van het vak (Prof; Lieven de Bruyn) opgesplitst per les met duidelijke figuren en tekeningen. Alle theorie en de te kennen begrippen zijn inbegrepen en geven per les een duidelijk overzicht.
- Grondplan : plan van een huis door middel van een horizontale snede
- Vlakke graf : hoekpunten die verbonden zijn met zijden die elkaar niet snijden en het vlak
opdelen in gebieden, waaronder ook de buitenruimte. Gebieden (kamers) zijn aangrenzend
als ze een zijde gemeen hebben
- Trivalente Vlakke graf : Een vlakke graf waarbij in elk hoekpunt net drie zijden toekomen
- 3-samenhangend Trivalente Vlakke graf : Alle hoekpunten zullen verbonden blijven als je
één of twee zijden verwijdert.
VEELVLAKKEN
- Veelvlak : ruimtelijke figuur verkregen door veelhoeken langs de gemeenschappelijke zijden
aan elkaar te plakken. Elk hoekpunt is volledig omringd door zijvlakken en elke ribbe is de
grens van juist twee zijvlakken.
- Convex veelvlak : Veelvlak zodat in elk hoekpunt de som van de binnenhoeken van de
aangrenzende zijvlakken minder is dan 360 graden.
- Trivalent Convex veelvlak : Convex veelvlak zodat in elk hoekpunt juist drie zijvlakken
samenkomen
VERBAND
- Stelling van Ernst Steinitz : Elke 3-samenhangende trivalente vlakke graf is de projectie van
de ribben van een trivalent convex veelvlak
o Het bovenste zijvlak geeft de rand van de vlakke graf.
o Het aantal gebieden van de vlakke graf is gelijk aan het aantal zijvlakken van het
veelvlak
o Het aantal hoekpunten van een gebied van de graf komt overeen met het aantal
hoekpunten van het zijvlak.
o We kennen alle configuraties van n kamers indien we alle trivalente convexe
veelvlakken kennen met n + 1 zijvlakken.
- We kunnen alle trivalente convexe veelvlakken met hoogstens 12 zijvlakken construeren uit
het allereenvoudigste veelvlak : de tetraheder (door middel van 2 operaties)
o Afknippen van een hoekpunt
o Opentrekken van een ribbe
o Bijvoorbeeld :
Drie kamers = tetraheder (4 zijvlakken)
Vier kamers = Prisma (5 zijvlakken) DOOR afknippen van hoekpunt tetr.
Vijf kamers = Balk (6 zijvlakken) DOOR opentrekken van ribbe i/h prisma.
- Een veelvlak kan ook meerdere projecties hebben (verschillende kant van waar je kijkt)
,Les 2 Symmetrie en Orbifolds
SYMMETRIEËN
- Rotatie : Draaien rond een centrum met een vaste hoek
- Spiegeling : Spiegeling ten opzichte van een as
- Translatie : Verplaatsing over een vaste afstand en richting
o Blokverband bezit de drie symmetrieën
- Samenstellen van twee spiegelingen met snijdende assen geeft een rotatie met als centrum
het snijpunt van de assen en als hoek tweemaal de hoek tussen de assen.
- Samenstellen van twee spiegelingen met evenwijdige assen geeft een translatie in de
richting loodrecht op de assen en als afstand tweemaal de afstand tussen de assen.
ORBIFOLDS
- Orbifold : Kleinste deel van een patroon waaruit we het gehele patroon kunnen construeren
door hierop alle mogelijke symmetrieën toe te passen. Elk punt van het patroon kan door
een symmetrie naar een punt in de orbifold gebracht worden. Geen twee punten in de
orbifold zijn verbonden door een symmetrie.
o Orbifold van blokverband = een kegelpunt van orde 4 en kruispunt van orde 2
- Kruispunt van orde n : Een punt waar n spiegelassen snijden. De hoek tussen de spiegelassen
is dan gelijk aan 180/n.
- Kegelpunt van orde n : Het centrum van een rotatie-symmetrie over een hoek van 360°/n en
deze ligt niet op een spiegelas.
- Orbifold notatie : AB.... * ab....
o Je noteert AB.... als er op de orbifold kegelpunten voorkomen van orde A, orde B,
enzovoort.
o Je noteert een * als er een spiegel symmetrie is
o Je noteert ab... als je langs de spiegels op de orbifold loopt achtereenvolgens een
kruispunt van orde a tegenkomt, dan van orde b, enzovoort.
o Voorbeeld Orbifold notatie van blokverband : 4 * 2
Kruispunt van 2 assen
Kegelpunt over 90° dus 360/4 = orde 4
ORBIFOLD SHOP
- Stel : * = 1 euro, kruispunt van orde n = n-1/2n euro, kegelpunt van orde n = n-1/n
o De orbifold van het blokverband geeft dan : ¾ + 1 + ¼ = 2 euro
- Ruimtelijke symmetrie : som van de hoeken is groter dan 180° en kost minder dan 2 euro.
VB = Pyritohedron
- Hyperbolische symmetrie : som van de hoeken is kleiner dan 180° en kost meer dan 2 euro.
VB = ‘Angels en Devils’ van Escher
- Vlakke symmetrie : Som van de hoeken is gelijk aan 180° en kost 2 euro
VB = Blokverband
, Les 3 Alle opervlakken
- Triangulatie : we leggen over een denkbeeldig oppervlak een driehoekige mesh. We zullen
dus het oppervlak bedekken met flexibele driehoeken die ofwel disjunct zijn, ofwel een
hoekpunt gemeen hebben, ofwel een volledige zijde gemeen hebben.
o Twee soorten zijden van een driehoek in de triangulatie
Gewone zijde : Dit is de zijde van juist twee driehoeken
Rand zijde : Dit is de zijde van juist één driehoek
- Euler Characteristiek van een oppervlak
o X=V–E+F
V = Hoekpunten (van de mesh)
E = Aantal zijden (van de mesh)
F = Aantal gebieden (van de mesh)
o Hangt niet af van de gekozen mesh van het oppervlak, er mogen zoveel driehoeken
zijn zoals men zelf wil :
X=3–3+2 X=4–6+4
X=2
= X=2
- De mesh die men over het oppervlak heeft gelegd wordt geprojecteerd op een vlakke
tekening. Elk oppervlak is een opgevouwen veelhoek.
o De zijden van de veelhoek op de vlakke tekening zijn ofwel rand-zijden van het
oppervlak of moeten paarsgewijs geplakt worden
Kegelmantel Cilinder Möbius-band Torus De sfeer Crosscap Fles van Klein
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller Er2206. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.20. You're not tied to anything after your purchase.
