Summary
Samenvatting kans c
- Course
- Institution
Samenvatting kans c leerjaar 2 periode 2
[Show more]
Seller
Follow
BartHoeks
Content preview
Samenvatting kans periode 2Wortel n-wet
Bij de wortel n-wet horen twee stellingen.
Stelling nummer 1:
Gegeven zijn onderling onafhankelijk identiek verdeelde stochasten X 1, X2, … , Xn
met E(Xi) = μ en σ(Xi) = σ voor alle i.
We bekijken de stochast: T = X1 + X2 + … + Xn.
Dan geldt:
E(T) = n ⋅ μ
σ(T) = √(n) ⋅ σ
Stelling nummer 2:
Gegeven zijn onderling onafhankelijk identiek verdeelde stochasten X 1, X2, … , Xn
met E(Xi) = μ en σ(Xi) = σ voor alle i.
X1 + X2 + … + X n
We bekijken de stochast: G= .
n
Dan:
E(G) = μ
σ
σ(G) = .
√n
Normaal verdeelde stochasten:
Gegeven zijn onderling afhankelijke normaal verdeelde stochasten X1, X2, … , Xn met
E(Xi) = μ en σ(Xi) = σ voor alle i.
X1 + X 2 + … + X n
We bekijken de stochasten T = X1 + X2 + … + Xn en G= .
n
Dan geldt voor alle n:
T ~ Norm(n ∙ μ , √(n) ∙ σ )
σ
G ~ Norm( μ , )
√n
De stochast T =aX 1 +bX 2 is dan ook normaal verdeeld (geldt voor ieder lineaire
combinatie van stochasten).
Als bij niet-normaal verdeelde stochasten de n ≥ 30, kunnen wij deze normaal
benaderen.
,Standaardiseren van een stochast
Gegeven is een stochast X die normaal is verdeeld met Norm(μ, σ). Wij gaan nu de
X−μ
stochast Z bekijken: Z = . Dan is Z normaal verdeeld met Norm(0, 1).
σ
Populatie versus steekproef
Populatieparamaters:
- Fractie p
- Gemiddulde μ
- Variantie σ2
- Standaardeviatie σ
Steekproefparameters:
- Fractie ^p
- Gemiddelde x
- Variantie s2
- Standaardeviatie s
, Puntschatters
Met behulp van een puntschatter kunnen wij een onbekende populatieparameter θ.
Dit doen wij door één enkele waarde te schatten. Deze schatter noemen wij θ^ . Deze
schatter berekenen wij vanuit de steekproef. Hiervoor willen wij een ‘goede’ schatter,
want als die er teveel naast zit hebben we er niks aan. Wij verwachten dus dat de θ^
gelijk is aan θ, ofwel E(θ^ ) = θ. Een goede schatter noemen wij ook wel zuiver. Hoe
laten wij nou zien of een schatter zuiver is? Hiervoor heb ik een voorbeeld:
Toon aan dat θ= ^ 5 X +Y + 6 Z een zuivere schatter is voor μ.
12
(
E ( θ^ ) =E )
5 X +Y +6 Z
12
1 1 1 1
= E ( 5 X +Y +6 Z )= E ( 5 X ) + E ( Y )+ E ( 6 Z )=¿.
12 12 12 12
5 1 6 5 1 6
E ( X ) + E ( Y )+ E ( Z )= μ+ μ + μ=μ. Dus de schatter is zuiver.
12 12 12 12 12 12
Hoe groter de steekproef wordt, hoe meer de schatter lijkt op het echte gemiddelde.
Als wij namelijk een schatter hebben, is er altijd een variantie en standaardafwijking
die erbij hoort. Die standaardafwijking noemen wij ook wel de standaardfout. Als wij
de gehele populatie pakken, is die standaardfout altijd 0, want dat is gewoon het
gemiddelde dat klopt en je kan geen andere gegevens pakken. Wij willen deze
standaardfout dus zo klein mogelijk hebben. De standaardfout berekenen wij door
σ (θ) te berekenen van puntschatter θ^ . Dit doen wij op dezelfde manier als we in de
vorige hoofdstukken de standaardafwijking berekenen (zie tabel hierboven of wortel
n wet).
Gegeven is een binomiaal experiment van lengte n met (onbekende) succeskans p.
Laat X het aantal successen van de n keer. Dan:
De fractie successen
X
n
is zuivere schatter voor p, want: E ( )
X
n
= p.
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller BartHoeks. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.21. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
67474 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now