6. Mechanica van de rotatie
Translatie en rotatie
Star lichaam
Is onvervormbaar, alle afstanden binnen het lichaam blijven dezelfde tijdens de
beweging
Translatie: ieder punt van het lichaam ondergaat dezelfde verplaatsing als ieder
ander punt van het lichaam als de beweging van één punt gekend is, dan is de
beweging van het hele lichaam gekend
Meest algemene beweging: combinatie rotatie en translatie
o Scheiding van bewegingen: de beweging van het massamiddelpunt beschrijft
een translatie, door de as door het massamiddelpunt te studeren vind je de
rotatie.
Vrijheidsgraden
Punten die afhankelijk kunnen bewegen van elkaar
Één punt 3 vrijheidsgraden
2 punten 6 vrijheidsgraden
Bij elke beperking zal de vrijheidsgraad afnemen met 1
Afstand tussen deze punten is constant: (X1 – X2)2 + (Y1-Y2)2 + (Z1-Z2)2 = d2
Biljartbal op een tafel: 2 translaties + 3 rotaties = 5
Platte schijf op een tafel: 2 translaties + 1 rotatie = 3
Cirkelbeweging
In het vlak (x,y)
beweging van punten op cirkel kunnen
beschreven worden mbv X en Y-coördinaten
Maar de poolcoördinaten r en θ zijn
eenvoudiger (r is constant)
∆θ
Gemiddelde hoeksnelheid: ⟨ ω ⟩ =
∆t
dθ
Ogenblikkelijke hoeksnelheid: ω = eenheid:
dt
rad/s
θ wordt uitgedrukt in radialen
Radiaal: de grootte van de middelpuntshoek van de cirkel, waarvan de lengte van de
cirkelboog gelijk is aan de lengte van de straal ( 1 radiaal = 57° )
ROTATIONELE MECHANICA 1
, Hoeksnelheid/ hoekversnelling
Is v de snelheid van P, dan is de afgelegde weg in tijd dt:
ds = vdt = rdθ
hoekverplaatsing: dθ = ds/r = vdt/r (want θ = s/r)
dθ v
hoekversnelling: ω = = => v = ω r Eenheid: rad/s
dt r
dω d 2 θ
α= = eenheid: rad/s2
dt d t 2
- Is α constant: ∫ dω = ∫ αdt = α ∫ dt => ω = α t + ω 0
- ∫ d θ = ∫ ωdt = ∫ ω0 dt +∫ αtdt => θ = θ0 + ω0t + ½α t2
- Na eliminatie van t : ω 2 = ω 02 + 2α (θ - θ 0)
Kinematica Rotatie
Constante, lineaire versnelling Constante hoekversnelling
V = v0 + at ω = ω0 + α t
∆ X = v0t + ½at2 ∆ θ = ω 0t + ½α t2
<v> = ½(v0 + v) <ω > = ½( ω 0 + ω )t
∆ X = ½(v0 + v)t ∆ θ = ½( ω 0 + ω )
V2 = v02 + 2a∆ x ω 2 = ω 02 + 2α ∆ θ
Eenparige cirkelbeweging
Hoeksnelheid blijft constant, hoekversnelling is nul
Periode
T = tijd voor één volledige omwenteling
2 πr 2 πr 2 π
T= = = eenheid = s
v ωr ω
Frequentie
f = aantal omwentelingen per seconden
ω
f = 1/T = eenheid = s-1 of Hz
2π
2π
ω = 2πf = eenheid = rad/s
T
Rotatiegrootheden als vectoren
Iets dat ronddraait heeft altijd een rotatie as
De grootheden θ , ω en α hebben een grootte, richting en zin
o Richting volgens rotatie-as bepalen door rechterhand of kurkentrekregel
ROTATIONELE MECHANICA 2
Translatie en rotatie
Star lichaam
Is onvervormbaar, alle afstanden binnen het lichaam blijven dezelfde tijdens de
beweging
Translatie: ieder punt van het lichaam ondergaat dezelfde verplaatsing als ieder
ander punt van het lichaam als de beweging van één punt gekend is, dan is de
beweging van het hele lichaam gekend
Meest algemene beweging: combinatie rotatie en translatie
o Scheiding van bewegingen: de beweging van het massamiddelpunt beschrijft
een translatie, door de as door het massamiddelpunt te studeren vind je de
rotatie.
Vrijheidsgraden
Punten die afhankelijk kunnen bewegen van elkaar
Één punt 3 vrijheidsgraden
2 punten 6 vrijheidsgraden
Bij elke beperking zal de vrijheidsgraad afnemen met 1
Afstand tussen deze punten is constant: (X1 – X2)2 + (Y1-Y2)2 + (Z1-Z2)2 = d2
Biljartbal op een tafel: 2 translaties + 3 rotaties = 5
Platte schijf op een tafel: 2 translaties + 1 rotatie = 3
Cirkelbeweging
In het vlak (x,y)
beweging van punten op cirkel kunnen
beschreven worden mbv X en Y-coördinaten
Maar de poolcoördinaten r en θ zijn
eenvoudiger (r is constant)
∆θ
Gemiddelde hoeksnelheid: ⟨ ω ⟩ =
∆t
dθ
Ogenblikkelijke hoeksnelheid: ω = eenheid:
dt
rad/s
θ wordt uitgedrukt in radialen
Radiaal: de grootte van de middelpuntshoek van de cirkel, waarvan de lengte van de
cirkelboog gelijk is aan de lengte van de straal ( 1 radiaal = 57° )
ROTATIONELE MECHANICA 1
, Hoeksnelheid/ hoekversnelling
Is v de snelheid van P, dan is de afgelegde weg in tijd dt:
ds = vdt = rdθ
hoekverplaatsing: dθ = ds/r = vdt/r (want θ = s/r)
dθ v
hoekversnelling: ω = = => v = ω r Eenheid: rad/s
dt r
dω d 2 θ
α= = eenheid: rad/s2
dt d t 2
- Is α constant: ∫ dω = ∫ αdt = α ∫ dt => ω = α t + ω 0
- ∫ d θ = ∫ ωdt = ∫ ω0 dt +∫ αtdt => θ = θ0 + ω0t + ½α t2
- Na eliminatie van t : ω 2 = ω 02 + 2α (θ - θ 0)
Kinematica Rotatie
Constante, lineaire versnelling Constante hoekversnelling
V = v0 + at ω = ω0 + α t
∆ X = v0t + ½at2 ∆ θ = ω 0t + ½α t2
<v> = ½(v0 + v) <ω > = ½( ω 0 + ω )t
∆ X = ½(v0 + v)t ∆ θ = ½( ω 0 + ω )
V2 = v02 + 2a∆ x ω 2 = ω 02 + 2α ∆ θ
Eenparige cirkelbeweging
Hoeksnelheid blijft constant, hoekversnelling is nul
Periode
T = tijd voor één volledige omwenteling
2 πr 2 πr 2 π
T= = = eenheid = s
v ωr ω
Frequentie
f = aantal omwentelingen per seconden
ω
f = 1/T = eenheid = s-1 of Hz
2π
2π
ω = 2πf = eenheid = rad/s
T
Rotatiegrootheden als vectoren
Iets dat ronddraait heeft altijd een rotatie as
De grootheden θ , ω en α hebben een grootte, richting en zin
o Richting volgens rotatie-as bepalen door rechterhand of kurkentrekregel
ROTATIONELE MECHANICA 2
