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Funciones Variables
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antoniomuozsnchez
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FUNCIONESDE
VARIAS
VARIABLES
1)
INTRODUCCIÓN
• Definición
de
campo
vectorial,
escalar
y
funciones
vectoriales
• Dominio
e
imagen
• Gráfica
• Restricción
• Operaciones
con
funciones
2)
FUNCIÓN
REAL
DE
DOS
VARIABLES
• Dominio
e
imagen
• Gráfica:
superficies
en
el
espacio.
Cuádricas
o Cilindros
y
ecuaciones
de
las
cuádricas:
importancia
de
sus
trazas
(proyecciones)
para
la
representación
de
éstas
3)
LÍMITES
Y
CONTINUIDAD
• Límite:
Definición
épsilon
delta.
• Límite
restringido
o Tipos
de
límites
restringidos:
Límites
reiterados
Límites
direccionales
Límites
en
coordenadas
polares
o Operaciones
con
límites
• Continuidad:
Definición
épsilon
delta.
• Definición
para
puntos
de
acumulación.
4)
DIFERENCIACIÓN
• Derivada
parcial
• Derivada
direccional.
Gradiente
• Concepto
de
diferencial
o Aplicaciones
de
la
diferencial:
propagación
de
errores
o Matriz
jacobiana
o Regla
de
la
cadena
o Derivación
implícita
• Interpretación
geométrica
de
las
derivadas
parciales,
direccionales,
diferenciales
y
gradientes.
• Optimización
de
funciones
de
varias
variables
o Extremos
relativos
o Optimización
condicionada.
Multiplicadores
de
Lagrange.
o Extremos
absolutos
1
, 1)
INTRODUCCIÓN
DEFINICIÓN:
Se
denomina
función
vectorial
de
n
variables
reales,
función
vectorial
de
variable
vectorial
o
campo
vectorial
a
cualquier
aplicación
f : A → m
donde
A ⊆ n .
Al
conjunto
A
se
le
denomina
dominio
de
f
:
A
=
Dom
(
f
).
La
expresión
y
=
f
(x)
indica
que
y
es
la
imagen
de
x
por
medio
de
f,
siendo
x= (x1 ,x2 ,…,x n )
e
y= ( y1 , y2 ,…, ym ) .
Si
la
función
solamente
viene
descrita
por
la
expresión
y
=
f
(x)
se
sobreentiende
que
el
dominio
de
la
función
es
el
máximo
{
subconjunto
de
! n
para
el
cual
f(x)
∈ m ;
es
decir:
Dom( f ) = (x1 , x2 ,…,x n )∈ n : f (x1 , x2 ,…,x n )∈ m .
}
Se
denomina
recorrido
o
imagen
de
f
al
subconjunto
de
m :
Im f = { f (x1 ,x2 ,…,x n ):(x1 ,x2 ,…,x n )∈A} .
Se
llama
gráfica
de
f
al
conjunto:
{
graf ( f ) = (x1 ,x2 ,…,x n , y1 , y2 ,…, ym )∈ n+m :(x1 ,x2 ,…,x n )∈ n e( y1 , y2 ,…, ym )∈ m
}
Dada
una
función
f : A → m
con
A ⊆ n .
Se
denomina
restricción
de
f
al
conjunto
S ⊆ A ,
y
se
indicará
por
f S
a
la
función
f S : S → m
definida
por
fS
(x)
=
f
(x)
para
todo
x
∈S .
Si
m = 1
y
n > 1
la
función
se
denomina
función
real
de
n
variables
reales,
función
real
de
variable
vectorial
o
campo
escalar.
Si
m
>
1
y
n
=
1
se
llama
función
vectorial
de
variable
real
o
función
vectorial,
a
secas.
En
una
variable,
la
distancia
entre
dos
puntos
se
medía
a
partir
del
valor
absoluto
d(x , y) = | x − y| ,
pero
el
valor
absoluto
también
se
puede
definir
a
partir
de
la
siguiente
expresión:
| x | = x 2 .
La
generalización
a
varias
variables
de
este
concepto
es
la
norma.
DEFINICIÓN:
Se
llama
norma
de
(x1 ,x2 ,,x n )
a
la
expresión:
(x1 ,x2 ,,x n ) = x12 + x22 ++ x n2 .
En
una
variable
x = x .
3)
LÍMITES
Y
CONTINUIDAD
DEFINICIÓN
(Definición
épsilon
delta
de
límite)
lím f (x , y) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃ δ > 0: 0 < (x , y)−(a,b) < δ ∀x ∈ 2 ⇒ f (x , y)− L < ε
( x , y ) → (a,b)
DEFINICIÓN
(Límite
restringido)
lím f (x , y) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃ δ > 0: 0 < (x , y)−(a,b) < δ ∀x ∈S ⊂ 2 ⇒ f (x , y)− L < ε
( x , y ) → (a,b) S
Si
una
función
tiene
límite,
el
límite
restringido
coincide
con
dicho
límite.
Si
dos
límites
restringidos
no
coinciden,
la
función
no
tiene
límite.
• Tipos
de
límites
restringidos:
o Límites
iterados:
S = {(x , y): x = a}
o
S = {(x , y): y = b}
lím ⎡ xlím f (x , y)⎤
lím ⎡ lím f (x , y)⎤
y → b ⎣ ⎦
x → a ⎣ ⎦
→a y→b
La
igualdad
de
los
límites
iterados
no
implica
la
existencia
del
límite.
2
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