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Integración Múltiple
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INTEGRACIÓNMÚLTIPLE
1)
INTEGRALES
DOBLES
Y
APLICACIONES
• INTEGRALES
ITERADAS
Y
ÁREA
EN
EL
PLANO
• VOLUMEN
• INTEGRALES
DOBLES
EN
COORDENADAS
POLARES
• CENTRO
DE
MASA
Y
MOMENTOS
DE
INERCIA
• ÁREA
DE
UNA
SUPERFICIE
(NO
PLANA)
2)
INTEGRALES
TRIPLES
Y
APLICACIONES
• VOLUMEN
• CENTRO
DE
MASA
Y
MOMENTOS
DE
INERCIA
• INTEGRALES
TRIPLES
EN
COORDENADAS
CILÍNDRICAS
Y
ESFÉRICAS
• CAMBIO
DE
VARIABLE
GENERAL:
JACOBIANO
1)
INTEGRALES
DOBLES
Y
APLICACIONES
1.1)
INTEGRALES
ITERADAS
Y
ÁREA
EN
EL
PLANO
b
La
integral
simple
calcula
áreas
en
el
plano:
A = ∫ [ f (x)− g(x)] dx .
Además
nos
define
un
a
recinto
en
el
plano:
R = {(x , y): a ≤ x ≤ b; g(x) ≤ y ≤ f (x)} .
Se
puede
expresar
dicha
región
b f (x) b f (x)
prescindiendo
del
integrando:
a ∫ ∫ g( x )
dy dx = ∫ dx ∫
a g( x )
dy .
A
este
tipo
de
integrales
se
les
denomina
iteradas.
La
integración
se
puede
llevar
a
cabo
de
dos
formas
diferentes.
{ }
b g2 ( x ) b g2 ( x )
A= ∫ ∫ dy dx = ∫ dx ∫ dy
R = (x , y):a ≤ x ≤ b; g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)
(elemento
de
área
vertical)
a g1 ( x ) a g1 ( x )
{ }
d h2 ( x ) d h2 ( x )
A= ∫ ∫ dx dy = ∫ dy ∫ dx
R = (x , y):c ≤ y ≤ d;h1 (x) ≤ x ≤ h2 (x) (elemento
de
área
horizontal)
c h1 ( x ) c h1 ( x )
Esto
nos
sirve
para
introducir
el
concepto
de
integral
doble
*
DEFINICIÓN:
Si
f
está
definida
en
una
región
cerrada
y
acotada
R
del
plano
xy,
entonces
la
n
integral
doble
de
f
sobre
R
viene
dada
por:
∫∫ R f (x , y)dx dy = lím
n → +∞
∑ f (x k
, y k )Δx k Δy k
k=1
El
caso
más
simple
de
integral
doble
f (x , y) = 1
sirve
para
calcular
el
área
de
una
región
R
en
el
plano.
1.2)
VOLUMEN
Si
f
es
integrable
sobre
una
región
plana
R
y
f (x , y) ≥ 0 ∀(x , y)∈R ,
entonces
la
expresión:
A = ∫∫ f (x , y)dA
(
dA = dxdy )
representa
el
volumen
de
la
región
sólida
que
se
encuentra
sobre
R
R
y
bajo
la
gráfica
de
f.
En
la
evaluación
de
las
integrales
dobles
es
importante
escoger
el
orden
de
integración
porque
aunque
el
resultado
debe
ser
el
mismo,
su
ejecución
puede
ser
más
sencilla
según
la
elección.
Esto
viene
recogido
en
el
siguiente
teorema.
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