La tesis que defendemos es la siguiente: (T) existe al menos un ejemplo del desarrollo de la lógica mateática en la traidición algebraicista (el trabajo de Charles S. Peirce) que muestra que los compromisos lógicos del logicismo no eran el único camino para llegar a cálculos completos y corre...
2. Los Logros del OAL y su Relevancia en la Historia de la Lógica 33
2.1. El Desarrollo del Álgebra Booleana desde los Trabajos de Peirce . . . . . . . . . . 33
2.1.1. Boole, De Morgan y Peirce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2. La Influencia de Peirce sobre Schröder, Löwenheim y Skolem . . . . . . . . 37
2.2. El Nacimiento de la Cuantificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1. El Descubrimiento de Mitchell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2. Los Desarrollos de Peirce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.3. Orden Superior o lo que Frege Pasó por Alto . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3. Propiedades Metalógicas de NRL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1. Completitud para NRL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2. Corrección para NRL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4. Peirce y la Teorı́a de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1. Álgebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2. Una Ampliación de la Teorı́a de Conjuntos del OAL . . . . . . . . . . . . . 57
7
, 2.4.3. El Problema del Continuo: Hacia la Topologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.4. Una Axiomatización para la Estructura de los Números Naturales . . . . . 59
3. El Marco Filosófico del OAL 64
3.1. Peirce y la Filosofı́a de las Matemáticas y la Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.1. Entre Lógica y Matemáticas: interrelación de las ciencias . . . . . . . . . . 64
3.1.2. Filosofı́a de las Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.3. Filosofı́a de la Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2. ¿Fue el Desarrollo del Álgebra de Relaciones de Peirce una Consecuencia de Com-
promisos de Cáracter Logicista? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3. Peirce como Logicista: la Interpretación de Susan Haack . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4. Peirce como No-Logicista: la Respuesta de Nathan Houser a Susan Haack . . . . . 73
3.5. Resolución de la Dialéctica Haack-Houser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6. El Álgebra de Relaciones como Consecuencia de la Posición de Peirce . . . . . . . 75
Conclusiones 79
Bibliografı́a 86
8
,Introducción
El siglo XIX fue de tremenda importancia para el desarrollo de la lógica matemática. Los
cálculos lógicos y otros lenguajes formales que conocemos hoy pasaron por numerosas modifica-
ciones y replanteamientos antes de llegar a satisfacer los ideales para los cuales fueron creados.
Con frecuencia encontramos en los textos y cursos de lógica moderna una clasificación histo-
riográfica de los movimientos que impulsaron el desarrollo de la lógica moderna: por un lado,
en el continente europeo, el movimiento logicista —encabezado por Gottlob Frege y Bertrand
Russell—, cuya pretención era fundamentar o reducir la aritmética —o incluso la matemática
entera— a la lógica pura y la teorı́a de conjuntos; y, por otro lado, tanto en el continente europeo
como en el americano, el movimiento algebraicista —encabezado por George Boole, Augustus
De Morgan, y muchos otros—, cuya pretención —ciertamente, más modesta— era diseñar un
lenguaje formal de tipo algebraico capaz de expresar y trabajar nociones y métodos propios de la
lógica. Sin embargo, creemos que esta clasificación de los movimientos filosóficos y matemáticos
que impulsaron el desarrollo de la lógica moderna no es del todo afortunada.
Aunque un análisis exhaustivo de los primeros acercamientos a una lógica simbólica podrı́a
llevarnos hacia la época de Gottfried Leibniz o incluso hasta la escolástica tardı́a, no parece dema-
siado aventurado afirmar que los trabajos que inauguraron exitosamente el estudio matemático de
la lógica fueron (Boole 1847 y 1854). El nacimiento del álgebra booleana tuvo una recepción posi-
tiva en la comunidad matemática de su tiempo y pasó muy poco tiempo para que matemáticos y
filósofos como Augustus De Morgan, William Stanley Jevons, Charles S. Peirce, Ernst Schröder,
y otros, desarrollaran sus propias álgebras de la lógica. Sin embargo, aunque a los autores recién
mencionados se les conoce como impulsores del movimiento algebraicista de la lógica, debemos
tener en mente que los trabajos de Boole llegaron a Frege y lo sacudieron de forma tal que obras
como la Begriffschrift o —más adelante, cuando Russell lee a Frege— los Principia Mathematica,
vieron la luz del dı́a gracias a la idea original de George Boole: diseñar un álgebra para la lógica.
Sin embargo, decir que la importancia del movimiento algebraicista estuvo en el hecho de
haber influenciado a matemáticos como Frege y Russell, es decir muy poco. Ciertamente, es fácil
justificar la afirmación anterior desde el impacto que tuvieron las obras de George Boole. Pero
es muy poco conocido en la literatura filosófica e historiográfica de la lógica el hecho de que el
10
, movimiento algebraicista tuvo una influencia mucho más importante que la simple inspiración de
la matematización de la lógica moderna. Y es todavı́a menos conocido el hecho de que pensadores
distintos a Boole, dentro del movimiento algebraicista, fueron especialmente importantes en el
desarrollo de la lógica moderna.
Charles S. Peirce fue un filósofo y cientı́fico estadounidense del siglo XIX frecuentemente re-
conocido por ser el fundador del pragmatismo. Sin embargo, la obra de este pensador es tan
extensa y variada que la afirmación anterior está tremendamente lejos de caracterizarle ade-
cuadamente. Peirce escribió sobre todas las ramas de la filosofı́a —generó, de hecho, su propio
sistema filosófico—, e incluso contribuyó a la matemática —particularmente, en la teorı́a de la
probabilidad—, la fı́sica y la quı́mica. Sin embargo, dentro de todas las áreas de interés de Peirce,
la lógica resalta como la más importante. Sus contribuciones a la lógica incluyen escritos sobre la
teorı́a de la verdad, la silogı́stica, la abducción, la inducción probabilı́stica, el álgebra de la lógica,
la lógica proposicional, la lógica de primer y segundo orden, la teorı́a de conjuntos axiomatiza-
da, las lógicas diagramáticas e, incluso, lógicas no-clásicas como las lógicas modales y las lógicas
multivaluadas.
Peirce fue uno de los primeros estudiosos del álgebra booleana en el continente americano y
de inmediato reconoció la importancia y el potencial que el trabajo de Boole poseı́a. Aproxima-
damente a partir de 1867 y después de leer las contribuciones de Augustus De Morgan, Peirce
comienza a desarrollar sistemas algebraicos de la lógica modificando y añadiendo principios y
notaciones con el fin de ampliar la expresividad de estos lenguajes formales. En particular, el
hecho de que el álgebra de Boole fuera incapaz de expresar adecuadamente las proposiciones
particulares motivó a Peirce a diseñar otro tipo de sistemas y notaciones. Después de casi veinte
años desde sus primeras publicaciones sobre el tema, Peirce publica “On the Algebra of Logic”
en 1885, un notable artı́culo que presenta de manera adecuada el álgebra o lógica de relaciones.
El álgebra de relaciones —o de relativos— parte de la idea de que no todas las proposiciones
quedan adecuadamente capturadas en términos de clases simples e inclusiones, como se hacı́a en
el álgebra de Boole. Peirce reconoce la existencia y la importancia de proposiciones que emplean
términos relativos o relacionales, es decir, términos cuya función es enlazar al menos dos obje-
tos entre sı́. En ese sentido, términos como “amante de”, “dador de algo a alguien”, etc., son
términos relativos. Fue precisamente este cambio de enfoque el que llevó a Peirce a desarrollar
un lenguaje formal para la lógica que, como estudiaremos en el presente trabajo, dio lugar a
múltiples descubrimientos y avances en el campo de la lógica matemática.
Dentro de las aportaciones que encontramos en (Peirce 1885), se encuentran:
1. El diseño de un álgebra equivalente a lo que hoy conocemos como lógica proposicional, y la
propuesta de una axiomatización completa y correcta para este lenguaje.
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