Redeneren & Bewijzen in de wiskunde.
Op tal van manieren kun je wiskundig aantonen dat iets wel of niet kan of bestaat (in de wiskunde). In dit document wordt een aantal zaken beschreven. Denk aan het Euclidische algoritme, lineaire Diophantische vergelijkingen, bewijzen uit het ongerijmde of mi...
Deze samenvatting is gebaseerd op de reader van Instituut Archimedes
(vakgroep wiskunde). Het instituut maakt op hun beurt grotendeels
gebruik van het werk: Syllabus algebra en bewijzen (1 & 2) door
J. Otten, Fontys Lerarenopleidingen.
, 1
Inhoud
Voorkennis
Getalverzamelingen
Deelbaarheid
Grootste gemene deler
Niveaus van zekerheid
Drie niveaus van zekerheid
Definities en stellingen
Logica en bewijsmethoden
Beweringen met kwantoren
Samengestelde beweringen
Bewijs uit het ongerijmde
Bewijs door volledige inductie
Het ladenprincipe en de soepketelmethode
Getaltheorie
Lineaire Diophantische vergelijkingen
Modulorekenen
, 2
Voorkennis
Getalverzamelingen
- Natuurlijke getallen N=¿ {0,1,2,3…..}
- Positief natuurlijke getallen N +¿ of N ={1,2,3 ….. }¿
¿0
Q= {ab : a , b∈ Z , b ≠ 0}
- Reële getallen R=¿ { .. niet als breuk te
schrijven….bv √2}
- Complexe getallen C={ a+ bi|a , b ∈ R }
- Even getallen E={... ,−6 ,−4 ,−2 , 0,2 , 4 , 6 , … ..}
- Oneven getallen O={... ,−5 ,−3 ,−1 ,1 , 3 ,5 , … }
- Priemgetallen P={2 ,3 , 5 , 7 ,11. 13 … ..}
- N ⊂ Z ⊂Q⊂ R ⊂ C (⊂ ‘is een ware deelverzameling van’)
Deelbaarheid
, 3
Definitie van deler
Voor alle gehele getallen a en b geldt:
“b is deler van a : betekent: “er bestaat een geheel getal q , zó, dat
a=b ∙ q.
Notatie: is deler van a : b∨a
Definitie van priemgetal
Voor natuurlijke getallen n ongelijk aan nul en ongelijk aan 1 geldt: “n
is een priemgetal” betekent: “n heeft precies twee positieve delers”.
Elk natuurlijk getal (behalve 0 en 1) heeft een priemfactorontbinding. Je
kunt uit deze ontbinding het aantal positieve delers van dat natuurlijk
getal bepalen.
Grootste gemene deler
Definitie van grootste gemene deler (ggd)l
De ggd van de gehele getallen a en b is het grootste gehele getal d
waarvoor geldt:
d is deler van a ……..en d is deler van b
Notatie: ggd (a , b)
Voorbeeld priemfactorontbinding:
Bepaal de ggd van de getallen 72 en 120 middels priemfactorontbinding:
3
72=2 ∙ 3
2
& 120=23 ∙ 3 ∙5 .
Bekijk de gemeenschappelijke priemfactoren zijn: 23 ∙3. Dit is 24. Dus de
ggd(72, 120) = 24.
Algoritme van Euclides
Dit algoritme berust op het delen met rest. De definitie:
, 4
Beschouw de gehele getallen a en b met b≠ 0. Het quotiënt
q van a en b en de rest van r van a en b zijn de twee gehele getallen waarvoor
geldt: waarvoor geldt:
a=q ∙ b+r met 0 ≤ r ≤|b|
Voorbeeld: bepaal (wederom) ggd(120, 72):
a = 120 en b = 36 → 120 = 1 x 72 + 48
a = 72 en b = 48 → 72 = 1 x 48 + 24
a = 48 en b = 24 → 48 = 2 x 24 + 0
Bij de laatst stap is er geen rest meer en dus: ggd(120,72) = 24
(Bij berekeningen is het schrijven zoals in de rechter voldoende).
Het algoritme van Euclides berust op twee eigenschappen:
I Voor alle a, b, q, r ∈ Z geldt: Als a = q ∙ b + r, dan is
ggd(a, b) = ggd(b, r);
II Als a ∈ {1, 2, 3, ...} dan geldt: ggd(a, 0) = a.
En het berust op het volgende feit:
III Het proces is dus niet oneindig lang, maar stopt uiteindelijk.
Niveaus van zekerheid
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller BFox. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.20. You're not tied to anything after your purchase.
