En este trabajo se pretende estudiar las proyecciones en C(H), el álgebra de Calkin, que se define como el cociente entre los operadores acotados de un espacio Hilbert separable entre sus operadores compactos, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos. Es conocido que existe un encaje nat...
Capı́tulo 1. Espacios de Hilbert y C ∗ -álgebras 1
Capı́tulo 2. El Álgebra de Calkin 3
1. Proyecciones en el Álgebra de Calkin 3
2. Otras propiedades de P(C(H)) 6
Capı́tulo 3. Invariantes cardinales del álgebra de Calkin 13
1. Invariantes cardinales del continuo y el encaje diagonal 14
2. Forcing en P(C(H)) 21
Bibliografı́a 27
iii
, INTRODUCCIÓN
En la teorı́a de conjuntos uno de los objetos centrales de investigación es el álgebra booleana
P(ω)/Fin, el conjunto potencia de los números naturales cociente con los subconjuntos finitos de
los mismos. Para el estudio de ésta estructura se han definido invariantes cardinales que capturan
algún aspecto de ella. Una de las maneras más comunes de definir un invariante cardinal es tomar
la mı́nima cardinalidad de un elemento de alguna subfamilia de P(ω)/Fin como, por ejemplo, la
mı́nima cardinalidad de una anticadena maximal.
En éste trabajo se pretende estudiar las proyecciones en C(H), el álgebra de Calkin, que se
define como el cociente entre los operadores acotados de un espacio Hilbert separable entre sus
operadores compactos, desde el punto de vista de la teorı́a de conjuntos. Es conocido que existe un
encaje natural de P(ω)/Fin al subconjunto de las proyecciones en el álgebra de Calkin P(C(H))
y a través de éste es posible definir análogos no conmutativos de sus invariantes cardinales, y en
algunos casos obtener resultados de ésta a través de métodos inicialmente diseñados para el estudio
de P(ω)/Fin.
Un problema conocido que mantiene una relación estrecha con invariantes cardinales en P(C(H))
es la llamada conjetura de Hadwin. En [5], D. Hadwin demostró que usando la hipótesis del con-
tinuo, todas las cadenas maximales dentro de P(C(H)), las proyecciones en el álgebra de Calkin,
son isomorfas (logra ésto demostrando que éste poset es ω-saturado y construyendo un isomorfis-
mo con un argumento de “back and forth”) y conjeturó que ésta condición podrı́a ser equivalente
con la hipótesis del continuo. En [4], Ilijas Farah menciona que la conjetura análoga dentro de
P(ω)/Fin es falsa, es decir, es consistente con ZFC que todas las cadenas maximales de P(ω)/Fin
sean isomorfas junto con la negación de la hipótesis del continuo.
Una utilidad que tienen éstos invariantes cardinales es ayudar al estudio de las gaps. Estas
juegan un papel importante en varias ramas de las matemáticas. En particular, el concepto de gap
aparece a menudo en la teorı́a de álgebras de operadores ya que se relaciona con conceptos de
completitud. Por ejemplo, la propiedad de ser ω-saturado se puede entender como la no existencia
de (ω, ω) gaps. Otro ejemplo es: una AW ∗ -álgebra es una C∗ -álgebra M tal que cada C∗ -subálgebra
conmutativa maximal está generada por proyecciones y las proyecciones de M forman una lattice
completa. En particular no podemos tener gaps del tipo (ω, κ) en M para ningún κ.
vii
, viii INTRODUCCIÓN
En la Teorı́a de perturbaciones de C∗ -álgebras se conjeturó que cualquier par de C∗ -álgebras
que estén “suficientemente cerca” deben ser unitariamente equivalentes. En [2], M.D. Choi y
E.Christensen dieron un ejemplo de dos C∗ -álgebras que están “suficientemente cerca” y, sin em-
bargo, no son siquiera ∗ -isomorfas. Su ejemplo se basa en construir dos C∗ -subalgebras A y B de
B(H) tal que π(A) y π(B) (sus imagenes en el álgebra de Calkin) forman una gap.
Es pertinente hacer notar que la investigación de estos invariantes cardinales es relativamente
nueva y, por lo tanto, la mayorı́a de las preguntas sobre éstos siguen abiertas.
En el primer capı́tulo se define el concepto de una C ∗ -álgebra y se mencionan los preeliminares
necesarios sobre los espacios de Hilbert, los operadores acotados y los operadores compactos. En el
segundo capı́tulo se define el álgebra de Calkin y se obtienen resultados que facilitan el análisis del
orden definido dentro de P(C(H)). En el tercer capı́tulo se definen el encaje diagonal de P(ω)/Fin
hacia P(C(H)), algunos de los invariantes cardinales más comunes en P(ω)/Fin, se estudian las
definiciones análogas dentro de P(C(H)) y para concluir se obtienen resultados acerca de éstos
nuevos invariantes cardinales aplicando técnicas análogas a las conocidas para P(ω)/Fin.
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