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Cours Algèbre
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Cours de première année école ingénieur
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L1 MATH201Mathématiques générales 2 – Algèbre
Michel Raibaut - Stéphane Simon - Alexandre Bascop
Dernière mise à jour le 11 avril 2022
,2
,Table des matières
1 Relations 5
1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Ensembles et éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Opérations ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 Ensembles N, Z et Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Espace vectoriel 21
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Conséquences des axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Familles de vecteurs et combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Sous-espace vectoriel engendré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Partie (ou famille) génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Sous-espaces vectoriels supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 Indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9 Bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.10 Existence de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.11 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Applications linéaires 37
3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Projection linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Existence et unicité d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 L’espace vectoriel L(E, F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6.1 Addition dans L(E, F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.2 Multiplication par un scalaire dans L(E, F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Matrices 45
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
, 4.3.1 Addition de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.2 Produit d’une matrice par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Matrices lignes, matrices colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.8 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.8.1 Action d’un changement de base sur les coordonnées d’un vecteur . . . . . . . . 56
4.8.2 Action d’un changement de bases sur la matrice d’une application linéaire . . . 58
4.9 Matrices équivalentes et matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.10 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.10.1 Définition par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.10.2 Déterminant d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.10.3 Formes multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.10.4 Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.10.5 Calcul pratique d’un déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.10.6 Autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Polynômes, Fractions rationnelles 67
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.1 Degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.2 Divisibilité, division euclidienne, PGCD, théorème de Bézout et lemme de Gauss 68
5.2.3 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.4 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.5 Factorisation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.2 Degré et partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.3 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.4 Décomposition en éléments simples dans C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3.5 Décomposition en éléments simples dans R(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3.6 Détermination pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3.7 Détermination théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
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