Summary
Samenvatting Wiskundige modellen (YI1371)
- Course
- Institution
Volledige samenvatting geziene leerstof (campus de nayer)
[Show more]
Seller
Follow
Studymotivation
Reviews received
Content preview
Wiskundige modellenHoofdstuk 1: Differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 2: Vectorfuncties
Hoofdstuk 3: Integralen
, Hoofdstuk 1: Differentiaalvergelijkingen
Differentiaalvergelijkingen: = een vgl. die een verband legt tussen een functie y(t) en haar afgeleiden. (t = tijd)
Vergelijking? = relatie tussen variabelen of een relatie tussen een veriabelen en zichzelf
2
bv. Parabool: y = ax + bx + c
Wet van Ohm: V(t) = I(t) R
Differentiaal? Zoals een afgeleide = verandering
bv. Positie, snelheid en versnelling
= relatie tussen een variabele en haar eigen verandering
bv. Luchtweerstand (Werkt je tegen)
Snelheidswijziging (zonder trappen bij het fietsen) (Min zorgt voor de afname
van de snelheid)
= feedback
Vormen van differentiaalvergelijkingen: manieren om een differentiaalvergelijking te beschrijven
1. Letterlijk: “verandering” als functie van de parameters
yʼ(x) = a(x) y(x) + b(x) (meestal gebruikt voor 1e orde)
Ex.: Geef een overzicht van alle types differentiaalvergelijkingen.
bv.
- Klassieke voorstelling van de vergelijkingen van orde 1
- Beginvoorwaarden maken de oplossing uniek (bv. Snelheid op moment 0)
Belang?
Differentiaalvergelijkingen die het gedrag van systemen beschrijven:
- In principe hebben deze systemen geen “keuze” in hun gedrag oplossing is meestal uniek
- startpositie/snelheid/situatie kan verschillen oplossing hangt af van “beginvoorwaarden” of
“randvoorwaarden”
Aantal rand/beginvoorwaarden = de orde van de vergelijking
Bv. Wet van Newton (F(t) =m x”(t)) → beginsnelheid & positie zijn nodig, begin-versnelling heeft geen invloed
Standaard vorm van lineaire differentiaalvergelijking van orde 1:
―> met 1 beginvoorwaarde heeft een unieke oplossing
yʼ(x) = a(x) y(x) + b(x), met y(x ) = c
2. Operator notatie:
3. Algemene vorm van een lineaire differentiaalvergelijking (2)
Lineaire diff. vgl. = een vgl. die een som is van termen,
eventueel vermenigvuldigd met een constante of andere functie.
a0 en a1 kunnen functies zijn, meestal zijn
dit getallen (= makkelijker oplosbaar)
,Oplossingsmethodes voor differentiaalvergelijkingen: hangt af van de vorm
1. Nakijken of een functie een oplossing is
2. Separabele vergelijkingen (orde 1)
NIET LINEAIR!
Nu wel een breuk
Veranderlijke apart schrijven
in
<
Niet maal 0 doen!
3. Algemene methode voor lineaire 1e orde probleem
Homogene vergelijkingen = een vgl. waarvan elke term y(x) bevat of haar afgeleiden.
:
bv. y”(x) - 2 yʼ(x) + 3 y(x) = 0
enkel functies met y(x)
Als y(x) de oplossing is, dan ook elk veelvoud “a y(x)”.
Gevolg: een homogene vergelijking heeft altijd y(x) = 0 als oplossing
Algemene methode, homogeen
Separabele vergelijking
Alle ʻyʼ links
Integraal
Cte a(x) dx
Exponent |y(x)| = e * e
H
= +- eCte
u
Algemene methode, particulier
Stap: 1. 2. 3. ―> “b(x) bestaat hier niet”
a, b en c kunnen verschillen,
andere oefening!
4. Operator methode voor homogene vergelijkingen (orde 2 en hoger)
5. Methode van de onbepaalde coëfficiënten (orde 2 en hoger)
Methode van de nulmakers
, Voorbeeld van de algemene methode:
HW: -x
✗ 2e
e y(x) + 2y(x) - 1 met lim y(x) = 1
✗ → 00
―> 1/2 + 1/2 e
2e orde vergelijkingen:
Algemene methode: Moet minstens 1 zijn anders niet van de 2e orde.
Az X
Stap 1: Homogene vergelijkingen met constante coëfficiënten:
= operator vorm.
Tussenstappen:
- (D - 1) y(x) = 0
P
↳ yʼ(x) - y(x) = 0 ―> yʼ(x) = y(x)
―> y(x) = A e
- (D + 3) y(x) = 0
:
yʼ(x) + 3y(x) = 0
D
Nodig om oefeningen te kunnen oplossen. 3✗
―> y(x) = B e
-
2 nulpunten dus 2 beginvoorwaarden.
Complex α +- βi :
(α + βi) x (α - βi) x
―> y(x) = A e +Be
EULER
αx αx
y(x) = A e cos(βx) + i A e sin(βx)
= Be
αx
cos(+ βx) + i B e
αx
sin(+ βx)
(A + B) e cos(βx) + (iA - iB) eαx sin(βx)
-
αx
-
C D
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller Studymotivation. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $9.64. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
64450 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 15 years now