Dit is een document met alle te kennen eigenschappen, definities, regels en methodes van de wiskunde van TEW. Dit document omvat dus ongeveer alle theorie van het vak van het tweede semester. Let op: hier staan de bewijzen nog niet in!
WISKUNDE MET
(BEDRIJFS)ECONOMISCHE
TOEPASSINGEN (TEW)
DEEL IV: INLEIDING
HOOFDSTUK 10: INLEIDING
1. Complexe getallen
1.1.Definities
Complexe getallen We definiëren i als het “getal” waarvoor geldt: i 2=−1
Met deze definitie wordt de verzameling van een
complexe getallen dan gedefinieerd als de verzameling
van alle lineaire combinaties van reële getallen en dit
getal i, of
C={ a+ b∗i|a ,b ∈ R }
In de notatie a+b*i noem men a het reële deel en b*i het
imaginaire deel.
Toegevoegd Men difinieert het toegevoegd complex getak van a+b*i
complex getal als
a+ b∗i=a−b∗i
Goniometrische of Een complex getal a+b*i kan in het complexe vlak
polaire vorm meetkundig voorgesteld worden door het punt met
Cartesische coördinaten (a,b), of
Poolcoördinaten ( r , φ ) bepaald door
{a=r cos φ met r ≥0 en 0 ≤ φ<2 π
b=r sin φ
Er geldt
a+ b∗i=r ( cos φ+i∗sin φ ) ;
Het rechterlid noemt men de goniometrische of polaire
vorm van het complexe getal.
1.2.Eigenschappen
Machten van i Voor de machten van i geldt:
2
i =−1
i 3=−i
4
i =+ 1
5
i =+i
…
Voor het omgekeerde van i geldt:
1
=−i
i
1
, Formule van De Voor elk complex getal met modulus 1 geldt
Moivre (cos φ+i∗sin φ)n =cos( nφ)+i∗sin ( nφ ) (n ∈ Z )
Vierkantsvergelijkin Een vierkantsvergelijking
gen met complexe a x +bx+ c=0
2
wortels Met negatieve discriminant, Δ=b 2−4 ac< 0
Heeft twee toegevoegde complexe wortels:
{
−b+ √ −∆∗i
x 1=
2a
−b− √−∆∗i
x2 =
2a
1.3.Regels/methodes
Bewerkingen met Optelling:
complexe getallen ( a+ b∗i ) + ( c+ d∗i )=( a+ c )+ ( b+d )∗i
Vermenigvuldiging
( a+ b∗i )∗( c +d∗i ) =( a c−bd ) + ( ad +bc )∗i
Machtsverheffing
(a+ b∗i) =⏟
n
( a+b∗i )∗( a+ b∗i )∗…∗( a+b∗i) (n∈ N 0)
n factoren
Toepassing De Om de n-de macht te bepalen van een willekeurig
Moivre complex getal, stap je best over op de goniometrische
vorm.
Als
a+ b∗i=r (cos φ+i∗sin φ)
Dan is
n n
(a+ b∗i) =r ∗¿
2. Getallenrijen (10.4)
2.1.Definities
Getallenrij Een getallenrij is een geordende (oneindige) verzameling
van getallen.
Notatie: { u n } staat voor u1 ,u 2 , u3 , … ,u n , …
Gedrag van een Men noemt een getallenrij { u n }
getallenrij
Convergent, indien nlim
→∞
un bestaat en eindig is
Divergent, indien nlim
→∞
un=±∞
Onbepaald, indien nlim
→∞
un niet bestaat
Rekenkundige Men noemt een getallenrij { u n } rekenkunidg, indien het
getallenrij verschil tussen opeenvolgende elementen van de rij
constant is.
Notatie: d=un−un −1 (n≥ 2)
Meetkundige Men noemt een getallenrij { u n } meetkundig, indien de
getallenrij verhouding tussen opeenvolgende elementen van de rij
cosntant is.
2
, un
Notatie: q= ( n ≥ 2 ) (rede )
un−1
Hyperharmonische Men noemt een getallenrij { u n } harmonisch, indien elk
getallenrij element van de rij een vaste negatieve macht is van de
index.
1
Notatie: un = p
, met p> 0.
n
Bij p = 1 spreekt men van een “harmonische” rij.
2.2.Eigenschappen
Rekenkundige De algemene term van een rekenkundige getallenrij { u n }
getallenrij kan gevonden worden als
un =u1+ ( n−1 ) d
Een rekenkundige rij is
Convergent indien d=0 ;er geldt dan nlim
→∞
un=u 1
Divergent indien d ≠ 0; er geldt dan nlim
→∞
un=± ∞
Meetkundige De algemene term van een meetkundige getallenrij { u n }
getallenrij kan gevonden worden als
n−1
un =u1∗q
Een meetkundige rij is
Convergent indien -1 < q < +1 ; er geldt dan
lim un=0 ;
n→∞
Convergent indien q = +1 ; er geldt dan nlim
→∞
un=u 1 ;
Divergent indien q > 1 ; er geldt dan nlim
→∞
un=±∞ ;
Onbepaald indien q -1 ; nlim
→∞
un bestaat dan niet
Hyperharmonische Een hyperharmonische rij { u n } met
getallenrij 1
un = ( p >0 )
np
Is steeds convergent.
Er geldt immers nlim
→∞
un=0
DEEL V: INTEGRALEN
H O O F D S T U K 1 1 : O N B E P A A L D E E N B E PA A L D E I N T E G R A L E N
1. Kernbegrippen
1.1.definities
3
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller emmavanhoestenberghe. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $6.96. You're not tied to anything after your purchase.
