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hoja de teoria de números complejos
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mgutieche
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Ingeniero Geólogo Matemáticas INÚMEROS COMPLEJOS
Motivación:
La resolución de ecuaciones tipo x2 + 9 = 0, que no tienen soluciones en IR.
Es necesario ampliar los números a un conjunto C I de manera que IR ⊂ CI
√ √
Ejemplo 1: x2 + 9 = 0 ⇒x = ± −9 = ±3 −1
√ √
6 ± −16 6 ± 4 −1
Ejemplo 2: x2 − 6x + 13 = 0 ⇒ x = = =
√ 2 2
3 ± 2 −1
√ Definición. Se llama UNIDAD IMAGINARIA y se denota por i al número
−1. Ası́ se pueden escribir las soluciones de las ecuaciones de los ejemplos
anteriores y de cualquier ecuación de 2o grado:
Ejemplo 1: x = ±3i
Ejemplo 2: x = 3 ± 2i
1. Los números complejos. Forma BINÓMICA
Definición 1.1.
Los números complejos z se pueden definir como pares ordenados z = (x, y)
de números reales x e y, con las operaciones suma y producto que definiremos
más adelante
Se suelen identificar los pares (x, 0) con los números reales x. Por lo tanto,
el conjunto de los números complejos C I contiene a los números reales IR como
subconjunto IR ⊂ C I.
Los pares (0, y) se llaman números imaginarios puros.
Los números reales x e y de z = (x, y) se conocen como parte real y parte
imaginaria de z y se escribe
Rez = x, Imz = y
, Ingeniero Geólogo Matemáticas I
Definición 1.2.
Se llama FORMA BINÓMICA del número complejo z = (x, y) a la expresión
x + yi, donde i es la unidad imaginaria antes definida.
Interpretación geométrica
Se asocia el número complejo z = x+yi con el punto del plano de coordenadas
rectangulares (x, y). De este modo, cada número complejo corresponde a un
punto exactamente y recı́procamente. Este punto se llama AFIJO del número
complejo. Ası́ se puede hablar del plano complejo al representarse en él todos
los números complejos. El eje X se llama eje real y el eje Y eje imaginario.
Imz
y z
x Rez
Imz
Ejemplo 3.
Resolver y representar las soluciones de la ecua- i
ción x4 − 1 = 0
−1 1 Rez
2 −i
x + 1 = 0 ⇒ x = ±i
(x2 +1)(x2 −1) = 0 ⇒
x2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1
Definición 1.3.
Dos números complejos (x1 , y1 ); (x2 , y2 ) se dicen iguales si tienen iguales sus
partes reales e imaginarias.
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 e y1 = y2
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