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OPTIMISATION LECTURE NOTES
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Optimisation course notes with examples and solutions
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Optimisation II APPM2007Dr Matthew Woolway
2018-09-26
,2
,Contents
Course Outline 11
Course Structure and Details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Course Assessment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Course Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Hardware Requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 Definition and General Concepts 13
1.1 Nonlinear Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 General Statement of a Optimisation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Important Optimisation Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1.1 Neighbourhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1.2 Local and Global Minimisers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1.3 Infimum and Supremum of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2.1 Affine Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2.2 Convex Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2.3 Convex Combination and Convex Hull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2.4 Hyperplanes and Halfspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2.5 Level Sets and Level Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 One Dimensional Unconstrained and Bound Constrained Problems 21
2.1 Unimodal and Multimodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Global Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Necessary and Sufficient Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Numerical Solutions to Nonlinear Equations 25
3.1 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.0.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Advantages and Disadvantages of Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Secant Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Numerical Optimisation of Univariate Functions 29
4.1 Techniques Using Function Evaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.1 Bisection Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.1.1 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.2 Golden Search Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
, 4 CONTENTS
5 Multivariate Unconstrained Optimisation 37
5.1 Terminology for Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.0.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 A Line in a Particular Direction in the Context of Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.0.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 Taylor Series for Multivariate Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4.0.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.5 Stationary Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.5.1 Tests for Positive Definiteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5.1.1 Compute the Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5.1.2 Principle Minors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.6 Necessary and Sufficient Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.6.0.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.6.0.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.6.0.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6 Gradient Methods for Unconstrained Optimisation 53
6.1 General Line Search Techniques used in Unconstrained Multivariate Minimisation . . . . . . . . . . . 53
6.1.1 Challenges in Computing Step Length αk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 Exact and Inexact Line Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.1 Algorithmic Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 The Descent Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.4 The Direction of Greatest Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.5 The Method of Steepest Descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.5.1 Steepest Descent Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.5.2 Convergence Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.5.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.5.3 Inexact Line Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.5.3.1 Backtracking Line Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.6 The Gradient Descent Algorithm and Machine Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.6.1 Basic Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.6.2 Adaptive Step-Size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.6.3 Decreasing Step-Size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.6.4 Stochastic Gradient Descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.6.4.1 Additional Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7 Newton and Quasi-Newton Methods 71
7.0.0.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.1 The Modified Newton Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 Convergence of Newton’s Method for Quadratic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3 Quasi-Newton Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3.1 The DFP Quasi-Newton Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8 Direct Search Methods for Unconstrained Optimisation 77
8.1 Random Walk Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1.0.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2 Downhill Simplex Method of Nelder and Mead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.3 Rosenbrock Function Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9 Lagrangian Multipliers for Constraint Optimisation 85
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