100% satisfaction guarantee Immediately available after payment Both online and in PDF No strings attached
logo-home
Previously searched by you
Previously searched by you
logo
Samenvatting Wetenschappelijk Rekenen $10.80   Add to cart
Quickly navigate to
Preview
  2.  
  3. Vrije Universiteit Brussel (VUB)
  4.  
  5. Computerwetenschappen
  6.  
  7. Wetenschappelijk Rekenen

Summary

Samenvatting Wetenschappelijk Rekenen

1 review
 238 views  9 purchases
  • Course
  • Wetenschappelijk Rekenen
  • Institution
  • Vrije Universiteit Brussel (VUB)
  • Book
  • Inleiding tot de numerieke wiskunde

Dit is een samenvatting voor het vak Wetenschappelijk rekenen. In deze samenvatting werd alle info uit de slides en eventuele extra informatie uit de hoorcolleges opgenomen. Opmerkingen: Hoofdstuk 1 dient enkel als opfrissing van enkele concepten en werd dus niet in deze samenvatting opgenomen. ...

[Show more]
Last document update: 2 year ago

Preview 4 out of 57  pages

Document information

  • No
  • Unknown
  • June 9, 2022
  • June 9, 2022
  • 57
  • 2021/2022
  • Summary

Subjects

  • foutenanalyse
  • computeraritmetiek
  • machineprecisie
  • numerieke stabiliteit
  • conditionering
  • lu decompositie
  • qr ontbinding
  • eigenwaarden
  • eigenvectoren
  • lineaire stelsels oplossen
  • gram schmidt orthogonalisatie

Connected book

book image

Book Title:

Author(s):

  • Edition:
  • ISBN:
  • Edition:

Written for

  • Vrije Universiteit Brussel (VUB)
  • Computerwetenschappen
  • Wetenschappelijk Rekenen
All documents for this subject (7)

1  review

review-writer-avatar

By: mohammedshabot • 1 year ago

Translated by Google

Good, clearly structured summary

Seller

avatar-seller
lennyS

Reviews received

Content preview

Samenvatting Wetenschappelijk Rekenen
Contents
Hoofdstuk 2: Foutenanalyse ......................................................................................................... 3
Inleidend voorbeeld ............................................................................................................................ 3
Fouttypes ............................................................................................................................................ 4
Getalvoorstelling ................................................................................................................................. 4
Relatieve en absolute fout .................................................................................................................. 5
IEEE floating point standaard .............................................................................................................. 5
Voorwaartse foutenanalyse ................................................................................................................ 6
Elementaire bewerkingen ................................................................................................................... 6
Voorbeeld........................................................................................................................................ 6
Kahan Som .......................................................................................................................................... 7
Voorbeeld........................................................................................................................................ 8
Stelling van Sterbenz........................................................................................................................... 8
Numerieke stabiliteit .......................................................................................................................... 9
Voorbeeld........................................................................................................................................ 9
Conditionering .................................................................................................................................... 9
Zwak stabiel ...................................................................................................................................... 10
Voorbeeld...................................................................................................................................... 10
Stabilisatie ......................................................................................................................................... 10
Hoofdstuk 3: Stelsels van lineaire vergelijkingen ......................................................................... 11
Inleidend voorbeeld .......................................................................................................................... 11
Doelstelling ....................................................................................................................................... 11
Onder- en bovendriehoekstelsels ..................................................................................................... 11
Achterwaartse substitutie voor het stelsel Uy = c ............................................................................ 11
Gauss eliminatie ................................................................................................................................ 12
Analyse .......................................................................................................................................... 13
Stabiliteit ....................................................................................................................................... 13
Pivotering ...................................................................................................................................... 14
LU-decompositie ............................................................................................................................... 14
Algoritme Crout-Doolittle ................................................................................................................. 15
Oplossing van een stelsel .................................................................................................................. 16
Hoofdstuk 4: QR-ontbinding, eigenwaarden en eigenvectoren .................................................... 16
Inleidend voorbeeld .......................................................................................................................... 16


1
Samenvatting WR - Lennert Saerens

, QR-decompositie .............................................................................................................................. 17
Algoritme ...................................................................................................................................... 17
Analyse .......................................................................................................................................... 19
Berekening eigenwaarden en eigenvectoren ................................................................................... 19
Hoofdstuk 5: Oplossen van niet-lineaire vergelijkingen ............................................................... 20
Banachs dekpunt iteraties ................................................................................................................ 21
Steffensens iteraties ......................................................................................................................... 21
Newtons methode ............................................................................................................................ 23
Gedempte methoden ....................................................................................................................... 23
Oplossen van niet-lineaire stelsels.................................................................................................... 23
Hoofdstuk 6: Numerieke integratie............................................................................................. 23
Inleidend voorbeeld .......................................................................................................................... 23
Trapeziumregel ................................................................................................................................. 23
Simpsonregel..................................................................................................................................... 24
Newton-Cotes formules .................................................................................................................... 24
Stabiliteit ....................................................................................................................................... 25
Samengestelde integratie ................................................................................................................. 26
Samengestelde trapeziumregel .................................................................................................... 26
Samengestelde Simpsonregel ....................................................................................................... 27
Romberg integratie(driehoek) .......................................................................................................... 27
Hoofdstuk 7: Veelterminterpolatie ............................................................................................. 28
Wat is interpolatie?........................................................................................................................... 28
Veelterminterpolatie ........................................................................................................................ 28
Voorbeeld...................................................................................................................................... 29
Conditionering .............................................................................................................................. 29
Hermite interpolatie ......................................................................................................................... 30
Voorbeeld...................................................................................................................................... 30
Lineaire stuksgewijze interpolatie .................................................................................................... 30
Conditionering .............................................................................................................................. 30
Voor- en nadelen .......................................................................................................................... 31
Cubic spline ....................................................................................................................................... 32
Basisfuncties ..................................................................................................................................... 33
Hoofdstuk 8: Lineair programmeren ........................................................................................... 34
Probleemstelling in standaardvorm.................................................................................................. 34
Eerste primale vorm (primal form) ............................................................................................... 34
Conversie....................................................................................................................................... 35

2
Samenvatting WR - Lennert Saerens

, Tweede primale vorm (slack form) ............................................................................................... 35
Simplex methode .............................................................................................................................. 36
Pivoting ............................................................................................................................................. 37
Tableau.............................................................................................................................................. 37
(Mixed) integer programming........................................................................................................... 39
Branch-and-bound ............................................................................................................................ 40
Cutting planes ................................................................................................................................... 42
Gomory cut ....................................................................................................................................... 42
Dualiteit............................................................................................................................................. 42
Hoofdstuk 9: Markov-chain Monte Carlo methodes .................................................................... 43
Monte Carlo methodes ..................................................................................................................... 43
Pseudo-random getallen................................................................................................................... 43
Lineaire-congruentiegeneratoren..................................................................................................... 43
Random getallen uit andere verdelingen ......................................................................................... 44
Inverse transform.......................................................................................................................... 44
Accept-reject sampling ................................................................................................................. 45
Ad-hoc methodes (vb. Box-Muller) ............................................................................................... 45
Monte Carlo integratie.................................................................................................................. 45
Variantie ........................................................................................................................................ 45
Markov-chain Monte Carlo ............................................................................................................... 46
Motivatie: Bayesiaanse data analyse / ML ................................................................................... 46
Markov chains ............................................................................................................................... 46
Metropolis-Hastings .......................................................................................................................... 47



Hoofdstuk 2: Foutenanalyse
Inleidend voorbeeld
Wiskundig equivalente voorstellingen → numeriek niet equivalent.

Voorbeeld:
𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥(√𝑥 + 1 − √𝑥) 𝑚𝑒𝑡 𝑥 ≥ 0 𝑒𝑛 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑒𝑡 𝑥 ≥ 0
√𝑥 + 1 + √𝑥
• Equivalente voorstellingen → nu gebruiken op rekentoestel met 4 decimale cijfers voor x =
500

𝑓(500) = 500(22,3830 − 22,3607) = 500 ∗ 0,0223 = 11.1500
500 500
𝑔(500) = = = 11,1748
22,3830 − 22,3607 44,7437


3
Samenvatting WR - Lennert Saerens

, • Welke uitdrukking correcter?
o Functies nu evalueren met 1 decimaal nauwkeuriger
o We merken dat f maar een decimaal nauwkeurig gaf terwijl g tot op drie decimalen
nauwkeurig was
▪ We noemen g daarom numeriek stabieler.

Fouttypes
In de numerieke wiskunde onderscheiden we 4 fouttypes:

• Invoerfouten: De numerieke methode wordt toegepast op een foutieve invoer. Dit kan zijn
door ruis of statistische fouten.
• Onvermijdelijke fout: Dit zijn fouten die verschijnen door de uitgevoerde bewerkingen.
• Methodefout: Dit zijn fouten door benaderingen in de numerieke methode zelf. (H5 en H6)
• Afrondfout: Dit zijn fouten door de numerieke voorstelling van de getallen.

Inleidend voorbeeld 2 fouttypes:

• Afrondfout: verschil tussen 4 en 5 decimalen nauwkeurigheid
• Onvermijdelijke fout: De onvermijdelijke fout bij de tweede methode is kleiner. Merk op dat
dit niets te maken heeft met de afrondfout of de precisie van de getalvoorstelling.

Komen vaak samen voor: ontknoping leidt tot begrippen conditionering en numerieke stabiliteit (zie
later)

Getalvoorstelling
Begrippen:

Laat 𝑥 ∈ ℝ dan wordt dit getal numeriek voorgesteld door een floating point of een zwevende
kommavoorstelling als:

𝑓𝑙(𝑥) = ±𝑖0 , 𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑝 ∗ 𝑏 𝑒

We kunnen zeggen dat fl(x) x projecteert op de dichtstbijzijnde floating point voorstelling. Hier bij is
𝑖𝑘 ∈ {0,1,2, , … ,9} met 𝑘 ∈ {0,1,2, … , 𝑝}. Opdat deze voorstelling uniek is mag 𝑖0 ≠ 0.

We noemen 𝑖0 , 𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑝 de mantisse, b de getalbasis, e de exponent en p de precisie.

Afspraak: De volledige mantisse wordt weergegeven, behalve indien 𝑏 = 2. In dit geval is impliciet
𝑖0 = 1.
1. Beschouw een systeem in basis 10 met een mantisse van precisie 6




Het volgende voorbeeld kan niet exact worden voorgesteld in dit systeem:



Dit getal heeft een precisie nodig van 11. De moeilijkheid van getalvoorstellingen is niet de grootte
van de getallen maar de lengte van de mantisse.




4
Samenvatting WR - Lennert Saerens

The benefits of buying summaries with Stuvia:

Guaranteed quality through customer reviews

Guaranteed quality through customer reviews

Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.

Quick and easy check-out

Quick and easy check-out

You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.

Focus on what matters

Focus on what matters

Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!

Frequently asked questions

What do I get when I buy this document?

You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.

Satisfaction guarantee: how does it work?

Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.

Who am I buying these notes from?

Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller lennyS. Stuvia facilitates payment to the seller.

Will I be stuck with a subscription?

No, you only buy these notes for $10.80. You're not tied to anything after your purchase.

Can Stuvia be trusted?

4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)

67096 documents were sold in the last 30 days

Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now

Start selling
$10.80  9x  sold
  • (1)
  Add to cart