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TU Dresden · Fakultät Mathematik · Institut für Numerische Mathematik 1Prof. Dr. A. Schwartz Institut für Numerische Mathematik
Dr. M. Herrich SS 2022
Übungen zur Vorlesung Spezielle Kapitel der Mathematik
11. Übung, 20.06.–24.06.2022
Aufgabe 3 (Binomialverteilte Zufallsgrößen)
Eine Studentin ist von der Wahrscheinlichkeitsrechnung so begeistert, dass sie beschließt, ihre Sams-
tagabendbeschäftigung (Diskobesuch oder Kinobesuch oder Buch lesen) jeweils am Vortage durch
Würfeln festzulegen. Für einen idealen Würfel legt sie fest:
– Diskobesuch, falls die Augenzahl nicht größer als 3 ist,
– Kinobesuch, falls die Augenzahl gleich 4 oder 5 ist,
– Buch lesen, falls die Augenzahl gleich 6 ist.
(a) Die Studentin möchte sich eine Vorstellung über das zu erwartende Ergebnis für fünf aufein-
anderfolgende Samstage verschaffen. Sie interessiert sich für die Wahrscheinlichkeiten dafür,
dass sie
(a1) an genau zwei dieser Samstage ins Kino geht,
(a2) an wenigstens einem dieser Samstage ein Buch liest,
(a3) an höchstens einem dieser Samstage in die Disko geht.
Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeiten.
(b) Bestimmen Sie die Anzahl der Kinobesuche, die die Studentin an 52 aufeinanderfolgenden
Samstagen (eines Jahres) zu erwarten hat.
(c) Wie viele aufeinanderfolgende Samstage dauert es, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
die Studentin an wenigstens einem dieser Samstage ein Buch liest, größer als 99% ist?
Lösung:
(a) Wir definieren drei binomialverteilte Zufallsgrößen:
• D gebe an, an wie vielen der fünf Samstage die Studentin in die Disko geht → binomi-
alverteilt mit n = 5 und p = 21 ;
• K gebe an, an wie vielen der fünf Samstage die Studentin ins Kino geht → binomialver-
teilt mit n = 5 und p = 31 ;
• B gebe an, an wie vielen der fünf Samstage die Studentin ein Buch liest → binomialver-
teilt mit n = 5 und p = 16 .
(a1) P (K = 2) = 5
· ( 31 )2 · ( 23 )3 ≈ 0,3292
2
(a2) P (B ≥ 1) = 1 − P (B = 0) = 1 − 50 · ( 16 )0 · ( 56 )5 = 1 − ( 56 )5 ≈ 0,5981
(a3) P (D ≤ 1) = P (D = 0)+P (D = 1) = 50 ·( 12 )0 ·( 12 )5 + 51 ·( 12 )1 ·( 12 )4 = 1 1
32 +5· 32 = 0,1875
(b) In dieser Teilaufgabe gebe K an, an wie vielen der 52 Samstage die Studentin ins Kino geht.
Dann ist K binomialverteilt mit n = 52 und p = 13 . Gesucht ist der Erwartungswert von K.
Dieser beträgt
1
E(K) = np = 52 · ≈ 17,33.
3
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