Dit is de samenvatting van het zesde hoofdstuk van het vak Discrete Wiskunde. In deze samenvatting werd zowel alle informatie uit de slides als bijkomende informatie uit eigen notities en de cursustekst opgenomen.
homogene eerste orde lineaire recurrentievergelijkingen
homogene tweede orde lineaire recurrentievergelijkingen
niet homogene recurrentievergelijkingen
beroemde particuliere oplossingen
Written for
Vrije Universiteit Brussel (VUB)
Computerwetenschappen
Discrete Wiskunde
All documents for this subject (7)
Seller
Follow
lennyS
Reviews received
Content preview
Hoofdstuk 6: Recurrentievergelijkingen
In dit hoofdstuk gaan we verder met de studie van rijen. In het voorgaande hoofdstuk hebben we met
rijen formele machtreeksen geassocieerd die zeer handig bleken bij het oplossen van telproblemen.
Deze genererende functies werden voor het eerst ingevoerd door Abraham De Moivre in 1718 toen
hij een exacte formule in functie van 𝑛 ∈ ℕ (zoals an = 3n + 2 of bn = (n + 1)(n + 2)(n + 3)) wou voor de
n-de (of algemene) term van een rij die gegeven wordt door een zogenaamde recurrentie relatie.
Hierbij wordt rij gegeven door enkele begintermen en dan een recursieve definitie die an uitdrukt als
functie van de voorgaande termen a0, a1, a2, . . . , an−1.
Voorbeeld: a0 = 1, a1 = 1 en an = an−2 + an−1 voor de rij 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
We zullen nu onderzoeken wanneer zulke recursieve definitie kan ‘vertaald’ worden in een formule
voor de algemene term an die enkel afhangt van n.
1 Homogene eerste orde lineaire recurrentievergelijkingen
Deze zijn van de vorm 𝑎𝑛 = 𝑟𝑎𝑛−1
• Eerste orde betekent dat an enkel afhangt van an−1 en niet van de voorgaande termen in de
rij;
• 5
lineair wil zeggen dat enkel de eerste macht van an−1 voorkomt, niet 𝑎𝑛−1 of zo;
• homogeen betekent dat an naast an−1 niet afhangt van iets anders. Dus niet an = ran−1 + sin(n)
of zo.
Ook hangt r niet af van n. We zeggen dat het hier gaat om een recurrentievergelijking met constante
coëfficiënten. Die eerste orde homogene lineaire recurrentierelaties geven eigenlijk meetkundige
rijen, die we reeds kennen vanuit het secundair onderwijs.
Voorbeeld:
Los de vergelijking an+1 = 3an op met als randvoorwaarde a0 = 5.
We rekenen enkele elementen van de rij uit:
We zien dat 𝑎𝑛 = 3𝑛 . 5
Stelling:
Zij 𝑟 ∈ ℂ en 𝑎0 ∈ ℂ. De oplossing van de recurrentievergelijking an+1 = ran is steeds van de vorm 𝑎𝑛 =
𝑟 𝑛 𝑎0 .
Bewijs: Eenvoudige oefening.
1
, Voorbeeld: We komen terug op het raadsel van vorig hoofdstuk: vul de rij 0, 2, 6, 12,
20, 30, 42, . . . aan
Neem de verschillen
We zien dus dat an − an−1 = 2n. Dit is een niet-homogene lineaire eerste orde
recurrentievergelijking die we later zullen leren oplossen in het algemeen. Toch
kunnen we hier reeds een oplossing bedenken:
Voorbeeld: Ook met niet-constante coëfficiënten kan gezond verstand tot een oplossing leiden. 𝑎𝑛 =
𝑛𝑎𝑛−1 geeft onmiddellijk an = n!.
2 Homogene tweede orde lineaire recurrentievergelijkingen
Definitie:
Zij 𝑘 ∈ ℕ0 en 0 ≠ 𝑐0 , 𝑐1 , … , 𝑐𝑘 ≠ 0 reële getallen en 𝑓: ℕ → ℝ een functie. Een lineaire
recurrentievergelijking van orde k met constante coëfficiënten is een uitdrukking
𝑐0 𝑎𝑛 + 𝑐1 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑐𝑘 𝑎𝑛−𝑘 = 𝑓(𝑛)
Om een eenduidige oplossing te hebben voor an, zijn beginvoorwaarden a0, a1, . . . , ak−1 nodig. Als
∀𝑛 ∈ ℕ geldt dat 𝑓(𝑛) = 0, heet de vergelijking homogeen.
Wij concentreren ons op homogene van orde 2:
𝑐0 𝑎𝑛 + 𝑐1 𝑎𝑛−1 + 𝑐2 𝑎𝑛−2 = 0
Geïnspireerd door het geval van orde 1 proberen we een oplossing te vinden van de vorm 𝑎𝑛 = 𝑐𝑟 𝑛
voor constanten 𝑐 ≠ 0 𝑒𝑛 𝑟 ≠ 0. We substitueren dit in bovenstaande uitdrukking en bekomen:
𝑐0 𝑐𝑟 𝑛 + 𝑐1 𝑐𝑟 𝑛−1 + 𝑐2 𝑐𝑟 𝑛−2 = 0
We delen dit alles door 𝑐𝑟 𝑛−2 ≠ 0 en krijgen
𝑐0 𝑟 2 + 𝑐1 𝑟 + 𝑐2 = 0.
Dit is een kwadratische vergelijking die we de karakteristieke vergelijking van de gegeven
recurrentievergelijking noemen. De algemene methode voor het oplossen van kwadratische
vergelijkingen leert ons dat er drie soorten oplossingen mogelijk zijn, naargelang de discriminant:
positief, nul of negatief is. Er zijn dan respectievelijk twee reële oplossingen, een reële wortel met
multipliciteit twee of twee complex toegevoegde oplossingen. We bekijken voorbeelden in elk van
deze gevallen om de oplossingsmethode te schetsen.
2
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller lennyS. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.79. You're not tied to anything after your purchase.
