Samenvatting Hoofdstuk 3: Gehele Getallen

Hoofdstuk 3: Gehele getallen
1 Ring
Zij R een verzameling voorzien van twee bewerkingen
+: (RxR) → R
*: (RxR) → R
die voldoen aan volgende eigenschappen:
1. (R,+) is een abelse of commutatieve groep:
• De optelling is associatief
➢∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
• De optelling heeft een neutraal element
➢∃𝑛 ∈ 𝑅: ∀𝑎 ∈ 𝑅: 𝑎 + 𝑛 = 𝑎 = 𝑛 + 𝑎
• Elk element a heeft een invers of symmetrisch element t.o.v. de optelling (dat
we noteren als −a)
➢∀𝑎 ∈ 𝑅: ∃𝑏 ∈ 𝑅: 𝑎 + 𝑏 = 𝑛 = 𝑏 + 𝑎
• De optelling is commutatief
➢∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
2. (R,*) is een monoide:
• De vermenigvuldiging is associatief
➢∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅: 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐
• De vermenigvuldiging heeft een neutraal element
➢∀𝑎 ∈ 𝑅: ∃𝑒 ∈ 𝑅: 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 = 𝑒 ∗ 𝑎
• De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling
➢∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅: 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑎 ∗ 𝑐
➢∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅: (𝑎 + 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑐 + 𝑏 ∗ 𝑐
We zeggen dat (R, +, *) een ring met eenheid is. Wanneer ook de vermenigvuldiging
commutatief is, spreken we van een commutatieve ring met eenheid.
Notatie:
We schrijven a − b voor a + (−b). a − b is dus kort voor “a plus het symmetrisch element van
b”.
Eigenschap:
De symmetrische en neutrale elementen zijn uniek.
Eigenschap:
∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝑅: 𝑚 − (−𝑛) = 𝑚 + 𝑛
Bewijs:
Als we bewijzen dat −(−n) = n is het in orde, want m−(−n) = m+ (−(−n)). Maar vermits
symmetrische elementen uniek zijn is dit duidelijk want n + (−n) = 0. ∎

1.1 De ring van gehele getallen
De verzameling van alle gehele getallen uitgerust met + en · is een ring met 0 als neutraal
element voor de optelling en 1 als neutraal element voor de vermenigvuldiging die we
noteren als (ℤ, +, ·).


1

,1.2 Andere voorbeelden van ringen
Veeltermen
De verzameling van veeltermen met reële coëfficiënten en onbekende X is
𝑛

ℝ[𝑋] ≔ {∑ 𝑎𝑖 𝑋 𝑖 |𝑛 ∈ ℕ, ∀𝑖 ∈ [0. . 𝑛]: 𝑎𝑖 ∈ ℝ}
𝑖=0

Op deze verzameling definiëren we een optelling door
𝑛 𝑚 max⁡{𝑚,𝑛}
𝑖 𝑗 (𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 ) 𝑋 𝑘
(∑ 𝑎𝑖 𝑋 ) + (∑ 𝑏𝑗 𝑋 ) = ∑
𝑖=0 𝑗=𝑜 𝑘=0

waarbij we veronderstellen dat ak = 0 voor k > n en bk = 0 voor k > m. We definiëren ook een
vermenigvuldiging door
𝑛 𝑚 𝑚+𝑛

(∑ 𝑎𝑖 𝑋 ) ∗ (∑ 𝑏𝑗 𝑋 ) = ∑ 𝑐𝑘 𝑋 𝑘
𝑖 𝑗

𝑖=0 𝑗=0 𝑘=0

Waarbij




De formule voor ck drukt gewoon uit dat je de som neemt van alle producten van termen uit
de eerste en de tweede veelterm die Xk opleveren. Met deze definities is (R[X], +, *) een ring.
Analoog zijn ook (Z[X], +, *) en (Q[X], +, *) ringen.
Matrices
Een voorbeeld van een niet-commutatieve ring is de verzameling van alle reële (n × n)-
matrices, voor een gegeven n ∈ N0, met de optelling en de vermenigvuldiging die we gewoon
zijn.

2 Welorde
De elementen van ℤ zijn ook geordend door de relatie ≤. Deze heeft ook enkele goed
gekende eigenschappen:

• ≤ is reflexief
➢ ∀𝑎 ∈ ℤ: 𝑎 ≤ 𝑎
• ≤ is antisymmetrisch
➢ ∀𝑎. 𝑏 ∈ ℤ: (𝑎 ≤ 𝑏) ∧ (𝑏 ≤ 𝑎) ⟹ (𝑎 = 𝑏)
• ≤ is transitief
➢ ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ: (𝑎 ≤ 𝑏) ∧ (𝑏 ≤ 𝑐) ⟹ (𝑎 ≤ 𝑐)
• Bovendien geldt:
➢ ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ: 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐 en ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ: 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎. 𝑐 ≤ 𝑏. 𝑐
Eigenschap:
Als a ≤ b, dan −b ≤ −a.


2

, Bewijs:
Trek van beide leden a af. Je krijgt: 0 ≤ b− a. Trek vervolgens van beide leden b af: −b ≤ −a.
∎
Definitie:
Zij S ⊂ Z. x ∈ Z heet een ondergrens van S indien ∀s ∈ S : x ≤ s. Het infimum van S is de
grootste ondergrens van S.
Definitie:
Indien het infimum van een verzameling S zelf tot S behoort, dan noemen we het een
minimum.
Principe van de welgeordendheid (in feite een axioma):
Elke niet-lege deelverzameling van Z die een ondergrens heeft, heeft ook een minimum.

3 Bewijs per inductie
Inleidend voorbeeld:
Hoe bewijzen we dat ∀n ∈ N0 geldt dat

1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2
We merken eerst op dat voor n = 1, het kleinste element van N0, de eigenschap waar is:

1 = 12

• Dan gaan we ervan uit dat de eigenschap geldt voor n = k en we bewijzen hieruit dat
de eigenschap dan ook moet waar zijn voor n = k + 1.
• Dus nemen we aan dat 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k2 en dan tonen we aan dat 1 + 3
+ 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 .
o Gebruikmakend van de aanname, wordt het linker lid k2 + (2k + 1) = k2 + 2k +
1 = (k + 1)2 . Kunnen we uit deze algemene redenering afleiden dat de
eigenschap geldt voor alle n ∈ N?




Bewijs:
Onderstel van niet. Zij S = {n ∈ N | ¬P(n) waar}, dan is deze verzameling niet leeg.

• Vermits S ⊂ N heeft S een ondergrens (bijvoorbeeld −1).
• Door de welgeordendheid van de gehele getallen heeft S een minimum, m.
o Door de basis van de inductie weten we dat 0 ∉ S en dus m ≥ 1. Omdat m
een minimum is, hebben we zeker (m − 1) ∉⁡S zodat P(m − 1) waar is, maar
de inductiestap verzekert dan dat P(m) ook waar is, wat een tegenspraak
oplevert.∎



3