Dit is de samenvatting van het derde hoofdstuk van het vak Discrete Wiskunde. In deze samenvatting werd zowel alle informatie uit de slides als bijkomende informatie uit eigen notities en de cursustekst opgenomen.
Hoofdstuk 3: Gehele getallen
1 Ring
Zij R een verzameling voorzien van twee bewerkingen
+: (RxR) → R
*: (RxR) → R
die voldoen aan volgende eigenschappen:
1. (R,+) is een abelse of commutatieve groep:
• De optelling is associatief
➢∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
• De optelling heeft een neutraal element
➢∃𝑛 ∈ 𝑅: ∀𝑎 ∈ 𝑅: 𝑎 + 𝑛 = 𝑎 = 𝑛 + 𝑎
• Elk element a heeft een invers of symmetrisch element t.o.v. de optelling (dat
we noteren als −a)
➢∀𝑎 ∈ 𝑅: ∃𝑏 ∈ 𝑅: 𝑎 + 𝑏 = 𝑛 = 𝑏 + 𝑎
• De optelling is commutatief
➢∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
2. (R,*) is een monoide:
• De vermenigvuldiging is associatief
➢∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅: 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐
• De vermenigvuldiging heeft een neutraal element
➢∀𝑎 ∈ 𝑅: ∃𝑒 ∈ 𝑅: 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 = 𝑒 ∗ 𝑎
• De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling
➢∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅: 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑎 ∗ 𝑐
➢∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅: (𝑎 + 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑐 + 𝑏 ∗ 𝑐
We zeggen dat (R, +, *) een ring met eenheid is. Wanneer ook de vermenigvuldiging
commutatief is, spreken we van een commutatieve ring met eenheid.
Notatie:
We schrijven a − b voor a + (−b). a − b is dus kort voor “a plus het symmetrisch element van
b”.
Eigenschap:
De symmetrische en neutrale elementen zijn uniek.
Eigenschap:
∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝑅: 𝑚 − (−𝑛) = 𝑚 + 𝑛
Bewijs:
Als we bewijzen dat −(−n) = n is het in orde, want m−(−n) = m+ (−(−n)). Maar vermits
symmetrische elementen uniek zijn is dit duidelijk want n + (−n) = 0. ∎
1.1 De ring van gehele getallen
De verzameling van alle gehele getallen uitgerust met + en · is een ring met 0 als neutraal
element voor de optelling en 1 als neutraal element voor de vermenigvuldiging die we
noteren als (ℤ, +, ·).
1
,1.2 Andere voorbeelden van ringen
Veeltermen
De verzameling van veeltermen met reële coëfficiënten en onbekende X is
𝑛
Op deze verzameling definiëren we een optelling door
𝑛 𝑚 max{𝑚,𝑛}
𝑖 𝑗 (𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 ) 𝑋 𝑘
(∑ 𝑎𝑖 𝑋 ) + (∑ 𝑏𝑗 𝑋 ) = ∑
𝑖=0 𝑗=𝑜 𝑘=0
waarbij we veronderstellen dat ak = 0 voor k > n en bk = 0 voor k > m. We definiëren ook een
vermenigvuldiging door
𝑛 𝑚 𝑚+𝑛
(∑ 𝑎𝑖 𝑋 ) ∗ (∑ 𝑏𝑗 𝑋 ) = ∑ 𝑐𝑘 𝑋 𝑘
𝑖 𝑗
𝑖=0 𝑗=0 𝑘=0
Waarbij
De formule voor ck drukt gewoon uit dat je de som neemt van alle producten van termen uit
de eerste en de tweede veelterm die Xk opleveren. Met deze definities is (R[X], +, *) een ring.
Analoog zijn ook (Z[X], +, *) en (Q[X], +, *) ringen.
Matrices
Een voorbeeld van een niet-commutatieve ring is de verzameling van alle reële (n × n)-
matrices, voor een gegeven n ∈ N0, met de optelling en de vermenigvuldiging die we gewoon
zijn.
2 Welorde
De elementen van ℤ zijn ook geordend door de relatie ≤. Deze heeft ook enkele goed
gekende eigenschappen:
, Bewijs:
Trek van beide leden a af. Je krijgt: 0 ≤ b− a. Trek vervolgens van beide leden b af: −b ≤ −a.
∎
Definitie:
Zij S ⊂ Z. x ∈ Z heet een ondergrens van S indien ∀s ∈ S : x ≤ s. Het infimum van S is de
grootste ondergrens van S.
Definitie:
Indien het infimum van een verzameling S zelf tot S behoort, dan noemen we het een
minimum.
Principe van de welgeordendheid (in feite een axioma):
Elke niet-lege deelverzameling van Z die een ondergrens heeft, heeft ook een minimum.
3 Bewijs per inductie
Inleidend voorbeeld:
Hoe bewijzen we dat ∀n ∈ N0 geldt dat
1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2
We merken eerst op dat voor n = 1, het kleinste element van N0, de eigenschap waar is:
1 = 12
• Dan gaan we ervan uit dat de eigenschap geldt voor n = k en we bewijzen hieruit dat
de eigenschap dan ook moet waar zijn voor n = k + 1.
• Dus nemen we aan dat 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k2 en dan tonen we aan dat 1 + 3
+ 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 .
o Gebruikmakend van de aanname, wordt het linker lid k2 + (2k + 1) = k2 + 2k +
1 = (k + 1)2 . Kunnen we uit deze algemene redenering afleiden dat de
eigenschap geldt voor alle n ∈ N?
Bewijs:
Onderstel van niet. Zij S = {n ∈ N | ¬P(n) waar}, dan is deze verzameling niet leeg.
• Vermits S ⊂ N heeft S een ondergrens (bijvoorbeeld −1).
• Door de welgeordendheid van de gehele getallen heeft S een minimum, m.
o Door de basis van de inductie weten we dat 0 ∉ S en dus m ≥ 1. Omdat m
een minimum is, hebben we zeker (m − 1) ∉S zodat P(m − 1) waar is, maar
de inductiestap verzekert dan dat P(m) ook waar is, wat een tegenspraak
oplevert.∎
3
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller lennyS. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.73. You're not tied to anything after your purchase.
