Samenvatting Hoofdstuk 2: Eenvoudige Principes van de Discrete Wiskunde
65 views 0 purchase
Course
Discrete Wiskunde
Institution
Vrije Universiteit Brussel (VUB)
Dit is de samenvatting van het tweede hoofdstuk van het vak Discrete Wiskunde. In deze samenvatting werd zowel alle informatie uit de slides als bijkomende informatie uit eigen notities en de cursustekst opgenomen.
Hoofdstuk 2: Eenvoudige principes van de
discrete wiskunde
1 De duiventil
Stelling (principe van de duiventil):
Als we n identieke objecten verdelen over k dozen met n > k, dan is er minstens 1 doos met
minstens 2 objecten.
Bewijs:
Uit het ongerijmde:
Veronderstel van niet. Dan is er in elke doos hoogstens 1 object. Zij m het aantal lege dozen.
Dan zijn er in totaal k – m dozen met juist 1 object. Vermits alle objecten verdeeld werden,
geldt:
𝑛 =𝑘−𝑚 ≤𝑘 <𝑛
En dat is een tegenspraak. ∎
1.1 Toepassing duiventil
Gevolg van de duiventil:
In de eerste 2013 elementen van de rij 7, 77, 777, … zit minstens 1 veelvoud van 2013.
Bewijs:
We noteren de eerste elementen van de rij 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎2013. Voor twee getallen a en b kunnen
we steeds quotiënt q en rest r bepalen zodat 𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟 met 0 ≤ 𝑟 < 𝑏. Doe dit nu voor alle
getallen in de rij. Dus ∀ 𝑖 ∈ {1, … ,2013} bepalen we de 𝑞𝑖 en 𝑟𝑖 zo dat 𝑎𝑖 = 2013𝑞𝑖 + 𝑟𝑖 .
Als er een i bestaat met ri = 0, dan is ai deelbaar door 2013 en is er niets meer te bewijzen.
Veronderstel nu, uit het ongerijmde, dat geen enkele ri nul is. Dan is {𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟2013 } een
deelverzameling van {1, 2, …, 2012}, de mogelijk niet-nulle resten bij deling door 2013. De
duiventil leert ons minstens 2 resten gelijk zijn. Dus ∃𝑖 ≠ 𝑗 ∈ {1,2, … ,2013} met 𝑟𝑖 = 𝑟𝑗 . We
mogen, zonder verlies van algemeenheid, aannemen dat 𝑎𝑖 > 𝑎𝑗 .
Bekijk nu het verschil 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 . Dit is enerzijds gelijk aan:
Of dus 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 = 77 … 77 × 10𝑗 .
Anderzijds is 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 = (2013𝑞𝑖 + 𝑟𝑖 ) − (2013𝑞𝑗 + 𝑟𝑗 ) = 2013(𝑞𝑖 − 𝑞𝑗 ) + 0, aangezien 𝑟𝑖 = 𝑟𝑗 .
Dus 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 = 𝑎𝑖−𝑗 × 10𝑗 is een veelvoud van 2013. Dit wil zeggen dat 𝑎𝑖−𝑗 × 10𝑗 deelbaar is
door 2013, maar vermits 10𝑗 geen enkele deler gemeenschappelijk heeft met 2013, moet
𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 een veelvoud zijn van 2013. We bekomen een tegenspraak en dus is het
tegengestelde bewezen. ∎
Veralgemeende duiventil:
𝑛
Als je n identieke objecten verdeelt over k dozen, dan is er minstens 1 doos met minstens ⌈ ⌉
𝑘
objecten. Het bewijs is analoog met dat van de gewone duiventil.
1.2 Toepassing veralgemeende duiventil
In een groep van 6 mensen zijn elke 2 individu’s ofwel vrienden ofwel vijanden. Men kan met
zekerheid zeggen dat er in deze groep drie mensen zijn die ofwel 2 aan 2 vrienden zijn,
ofwel 2 aan 23 vijanden.
Bewijs:
Zij A een van die personen. De overblijvende 5 personen vallen uiteen in 2 groepen: de
vrienden van A en de vijanden van A. Door het veralgemeend principe van de duiventil bevat
5
1 van die 2 groepen minstens ⌈ ⌉ = 3 personen. Onderstel dat we dus minstens 3 vrienden
2
hebben (het geval dat er minstens 3 vijanden zijn verloopt analoog). We noemen B, C, D drie
van die vrienden. Als 2 van de 3 bevriend zijn is het bewijs gedaan. Als geen 2 van de drie
vriend zijn, hebben we 3 personen gevonden die 2 aan 2 vijanden zijn. ∎
2 Eenvoudige teltechnieken
Als we objecten tellen in dozen (zoals in het vorige deel) komt het er eigenlijk op neer dat we
elementen tellen in disjuncte verzamelingen.
2.1 Tellen
Stelling:
Twee eindige verzamelingen A en B bevatten evenveel elementen als en slechts als er een
bijectie A ←→ B bestaat.
Formeel definiëren wat we bedoelen met “aantal elementen in een eindige verzameling”.
• elementen van een verzameling A tellen
o komt eigenlijk overeen mat nummeren van de elementen van A.
▪ neem een eerste element weg uit de verzameling, dan een tweede
enz. tot er geen meer zijn
• Dit resulteert in een bijectie f tussen de verzameling {1, 2, . . . , n} en A met f(i) = i-de
element van A in onze selectie.
2
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller lennyS. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.84. You're not tied to anything after your purchase.
