Dit is een volledig overzicht van alle bewijzen en eigenschappen die te kennen zijn voor de examens (1e en 2e semester) van het vak Wiskunde met bedrijfseconomische toepassingen, gegeven in 1e bachelor TEW door professor Ann De Schepper
WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN 2021-
2022 BEWIJZEN semester 1
O 5.3.1 GEMIDDELDE WAARDE VERSUS MARGINALE WAARDE (P. 131)
o Als we de afgeleide van de gemiddelde functie berekenen, dan vinden we
o
d
dx
(⟨ f ⟩ ( x ) ) = d ( )
f (x ) x ∙ f ' ( x )−f ( x )
dx x
=
x
2
Omdat de noemer enkel een kwadraat bevat, wordt het teken van de breuk bepaald door de teller.
Er geldt:
d
Als de gemiddelde functie stijgt, dan is (⟨ f ⟩ ( x ) ) ≥ 0
dx
' ' f (x)
Hieruit volgt dat x ∙ f ( x ) of f ( x ) ≥
x
d
Als de gemiddelde functie daalt, dan is (⟨ f ⟩ ( x ) ) ≤ 0
dx
' f (x)
Hieruit volgt dat x ∙ f ' ( x ) ≤ f ( x ) of f ( x ) ≤
x
d
Als de gemiddelde functie een lokaal extremum bereikt, dan is ( ⟨ f ⟩ ( x ) ) =0
dx
' f (x)
Hieruit volgt dat x ∙ f ' ( x )=f ( x ) of f ( x )=
x
O 8.2.3. AFLEIDEN VAN IMPLICIETE FUNCTIES (P. 169)
o Wanneer de vergelijking van een functie met één onafhankelijke veranderlijke gegeven is in een
impliciete vorm F ( x , y )=0, dan kan de afgeleide voor de (onbekende) expliciete vorm y=f ( x ) in
'
' −F x ( x 0 , y 0 )
een punt x 0 gevonden worden als f ( x 0 )= met y 0 bepaald door F ( x 0 , y 0 )=0 ,
F'y ( x 0 , y 0 )
o voor zover de functie f gedefinieerd is en de partiële afgeleide in de noemer verschilt van nul.
o Je kan dit terugvinden door te vertrekken vanuit de totale differentiaal (hier in de verkorte notatie):
o F ( x , y )=0
o ⇓
o dF ( x , y )=0
o ⇓
' '
o F x dx+ F y dy=0
o ⇓
' '
o F y dy =−F x dx
o ⇓
, '
dy −F x
o = '
dx Fy
O
O
O
O 8.2.3. AFLEIDEN VIA IMPLICIETE FUNCTIES (P. 170)
O Eigenschap 8.6 (Impliciete functie F ( x , y , z )=0 )
O Wanneer de vergelijking van een functie met twee onafhankelijke veranderlijken gegeven is in
O een impliciete vorm F ( x , y , z )=0 , dan kunnen de partiële afgeleiden voor de (onbekende)
O expliciete vorm z=f ( x , y ) in een punt ( x 0 , y 0 ) gevonden worden als
'
O
' −F x ( x 0 , y 0 , z 0 )
O
f ( x0, y0)=
x
F 'z ( x0 , y 0 , z 0 )
O '
' −F y ( x 0 , y 0 , z 0 )
O f ( x 0 , y 0 )=
y '
F z ( x0 , y0 , z0 )
O
met z 0 bepaald door F ( x 0 , y 0 , z 0 )=0,
O
Ook dit resultaat kan je terugvinden vanuit de totale differentiaal (hier opnieuw in verkorte notatie),
nu voor de drie veranderlijken:
F ( x , y , z )=0
⇓
O dF ( x , y , z )=0
O
⇓
O
' ' '
O F x dx+ F y dy + F z dz=0
O ⇓
O
F 'z dz=−F 'x dx−F 'y dy
O
⇓
O
O −F 'x F 'y
dz= dx− dy
O F 'z F'z
O
⇓
O
' '
∂ z −F x ∂ z −F y
O = ' en = '
∂x Fz ∂y Fz
O
O
O GEVOLG 8.1. (RAAKLIJN) (P. 171)
o De vergelijking van de raaklijn in het punt P=( x0 , y 0 ) aan de curve met impliciete vergelijking
F ( x , y )=0 luidt F 'x ( x0 , y 0 ) ( x−x 0 ) + F'y ( x 0 , y 0 )( y− y 0 ) =0
, o Voor zover alle partiële afgeleiden bestaan.
o Om dit aan te duiden vertrekken we van de vergelijking voor de raaklijn zoals we ze eerder vonden:
y− y 0=f ' ( x 0 ) ( x−x 0 ), met f de (onbekende) expliciete functie die bij de curve hoort.
o We weten nu dat
'
' −F x ( x 0 , y 0 )
o f ( x 0 )= '
F y ( x0 , y0 )
o
o
o Invullen in de vergelijking van de raaklijn geeft
'
−F x ( x 0 , y 0 )
o y− y 0= ' ( x−x 0 )
F y ( x0 , y0)
o De noemer wegwerken geeft
o F 'y ( x 0 , y 0 )( y− y 0 ) =−F'x ( x 0 , y 0 ) ( x−x 0 );
brengen we alles aan één kant van het gelijkheidsteken, dan vinden we inderdaad het vermelde
resultaat.
O GEVOLG 8.2. (RAAKVLAK) (P. 172)
O De vergelijking van het raakvlak in het punt P=( x0 , y 0 , z 0 ) aan het oppervlak met impliciete
vergelijking F ( x , y , z )=0 luidt
O F 'x ( x0 , y 0 , z 0 )( x−x 0 ) + F 'y ( x0 , y 0 , z 0 ) ( y− y 0 ) + F'z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( z−z 0 ) =0
o Voor zover alle partiële afgeleiden bestaan.
o
Om dit aan te tonen vertrekken we van de vergelijking voor het raakvlak zoals we ze eerder zagen:
z−z 0=f 'x ( x 0 , y 0 )( x −x0 ) + f 'y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 )
met f de (onbekende) expliciete functie die bij het oppervlak hoort.
We weten nu dat
'
' −F x ( x 0 , y 0 , z 0 )
f ( x0, y0)=
x '
F z ( x0 , y 0 , z 0 )
o en dat
−F 'y ( x 0 , y 0 , z 0 )
f 'y ( x 0 , y 0 )= '
F z ( x 0 , y0 , z0 )
o Invullen in de vergelijking van het raakvlak geeft
' '
−F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) F y ( x0 , y0 , z0 )
o z−z 0= ' ( x−x 0 )− ' ( y− y 0 )
F z ( x0 , y0 , z0 ) F z ( x0 , y 0 , z 0 )
De noemer wegwerken geeft
' ' '
F z ( x 0 , y 0 , z 0 )( z −z 0 )=−F x ( x 0 , y 0 , z 0 )( x −x0 ) −F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( y− y 0 ) ;
brengen we alles aan één kant van het gelijkheidsteken, dan vinden we inderdaad het vermelde
resultaat.
O
O 8.3.1. SAMENGESTELDE FUNCTIES (P. 174)
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller louiseevens. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $9.19. You're not tied to anything after your purchase.
