Dit is een volledig overzicht van alle bewijzen en eigenschappen die te kennen zijn voor de examens (1e en 2e semester) van het vak Wiskunde met bedrijfseconomische toepassingen, gegeven in 1e bachelor TEW door professor Ann De Schepper
WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN 2021-
2022 BEWIJZEN semester 1
O 5.3.1 GEMIDDELDE WAARDE VERSUS MARGINALE WAARDE (P. 131)
o Als we de afgeleide van de gemiddelde functie berekenen, dan vinden we
o
d
dx
(⟨ f ⟩ ( x ) ) = d ( )
f (x ) x ∙ f ' ( x )−f ( x )
dx x
=
x
2
Omdat de noemer enkel een kwadraat bevat, wordt het teken van de breuk bepaald door de teller.
Er geldt:
d
Als de gemiddelde functie stijgt, dan is (⟨ f ⟩ ( x ) ) ≥ 0
dx
' ' f (x)
Hieruit volgt dat x ∙ f ( x ) of f ( x ) ≥
x
d
Als de gemiddelde functie daalt, dan is (⟨ f ⟩ ( x ) ) ≤ 0
dx
' f (x)
Hieruit volgt dat x ∙ f ' ( x ) ≤ f ( x ) of f ( x ) ≤
x
d
Als de gemiddelde functie een lokaal extremum bereikt, dan is ( ⟨ f ⟩ ( x ) ) =0
dx
' f (x)
Hieruit volgt dat x ∙ f ' ( x )=f ( x ) of f ( x )=
x
O 8.2.3. AFLEIDEN VAN IMPLICIETE FUNCTIES (P. 169)
o Wanneer de vergelijking van een functie met één onafhankelijke veranderlijke gegeven is in een
impliciete vorm F ( x , y )=0, dan kan de afgeleide voor de (onbekende) expliciete vorm y=f ( x ) in
'
' −F x ( x 0 , y 0 )
een punt x 0 gevonden worden als f ( x 0 )= met y 0 bepaald door F ( x 0 , y 0 )=0 ,
F'y ( x 0 , y 0 )
o voor zover de functie f gedefinieerd is en de partiële afgeleide in de noemer verschilt van nul.
o Je kan dit terugvinden door te vertrekken vanuit de totale differentiaal (hier in de verkorte notatie):
o F ( x , y )=0
o ⇓
o dF ( x , y )=0
o ⇓
' '
o F x dx+ F y dy=0
o ⇓
' '
o F y dy =−F x dx
o ⇓
, '
dy −F x
o = '
dx Fy
O
O
O
O 8.2.3. AFLEIDEN VIA IMPLICIETE FUNCTIES (P. 170)
O Eigenschap 8.6 (Impliciete functie F ( x , y , z )=0 )
O Wanneer de vergelijking van een functie met twee onafhankelijke veranderlijken gegeven is in
O een impliciete vorm F ( x , y , z )=0 , dan kunnen de partiële afgeleiden voor de (onbekende)
O expliciete vorm z=f ( x , y ) in een punt ( x 0 , y 0 ) gevonden worden als
'
O
' −F x ( x 0 , y 0 , z 0 )
O
f ( x0, y0)=
x
F 'z ( x0 , y 0 , z 0 )
O '
' −F y ( x 0 , y 0 , z 0 )
O f ( x 0 , y 0 )=
y '
F z ( x0 , y0 , z0 )
O
met z 0 bepaald door F ( x 0 , y 0 , z 0 )=0,
O
Ook dit resultaat kan je terugvinden vanuit de totale differentiaal (hier opnieuw in verkorte notatie),
nu voor de drie veranderlijken:
F ( x , y , z )=0
⇓
O dF ( x , y , z )=0
O
⇓
O
' ' '
O F x dx+ F y dy + F z dz=0
O ⇓
O
F 'z dz=−F 'x dx−F 'y dy
O
⇓
O
O −F 'x F 'y
dz= dx− dy
O F 'z F'z
O
⇓
O
' '
∂ z −F x ∂ z −F y
O = ' en = '
∂x Fz ∂y Fz
O
O
O GEVOLG 8.1. (RAAKLIJN) (P. 171)
o De vergelijking van de raaklijn in het punt P=( x0 , y 0 ) aan de curve met impliciete vergelijking
F ( x , y )=0 luidt F 'x ( x0 , y 0 ) ( x−x 0 ) + F'y ( x 0 , y 0 )( y− y 0 ) =0
, o Voor zover alle partiële afgeleiden bestaan.
o Om dit aan te duiden vertrekken we van de vergelijking voor de raaklijn zoals we ze eerder vonden:
y− y 0=f ' ( x 0 ) ( x−x 0 ), met f de (onbekende) expliciete functie die bij de curve hoort.
o We weten nu dat
'
' −F x ( x 0 , y 0 )
o f ( x 0 )= '
F y ( x0 , y0 )
o
o
o Invullen in de vergelijking van de raaklijn geeft
'
−F x ( x 0 , y 0 )
o y− y 0= ' ( x−x 0 )
F y ( x0 , y0)
o De noemer wegwerken geeft
o F 'y ( x 0 , y 0 )( y− y 0 ) =−F'x ( x 0 , y 0 ) ( x−x 0 );
brengen we alles aan één kant van het gelijkheidsteken, dan vinden we inderdaad het vermelde
resultaat.
O GEVOLG 8.2. (RAAKVLAK) (P. 172)
O De vergelijking van het raakvlak in het punt P=( x0 , y 0 , z 0 ) aan het oppervlak met impliciete
vergelijking F ( x , y , z )=0 luidt
O F 'x ( x0 , y 0 , z 0 )( x−x 0 ) + F 'y ( x0 , y 0 , z 0 ) ( y− y 0 ) + F'z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( z−z 0 ) =0
o Voor zover alle partiële afgeleiden bestaan.
o
Om dit aan te tonen vertrekken we van de vergelijking voor het raakvlak zoals we ze eerder zagen:
z−z 0=f 'x ( x 0 , y 0 )( x −x0 ) + f 'y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 )
met f de (onbekende) expliciete functie die bij het oppervlak hoort.
We weten nu dat
'
' −F x ( x 0 , y 0 , z 0 )
f ( x0, y0)=
x '
F z ( x0 , y 0 , z 0 )
o en dat
−F 'y ( x 0 , y 0 , z 0 )
f 'y ( x 0 , y 0 )= '
F z ( x 0 , y0 , z0 )
o Invullen in de vergelijking van het raakvlak geeft
' '
−F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) F y ( x0 , y0 , z0 )
o z−z 0= ' ( x−x 0 )− ' ( y− y 0 )
F z ( x0 , y0 , z0 ) F z ( x0 , y 0 , z 0 )
De noemer wegwerken geeft
' ' '
F z ( x 0 , y 0 , z 0 )( z −z 0 )=−F x ( x 0 , y 0 , z 0 )( x −x0 ) −F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( y− y 0 ) ;
brengen we alles aan één kant van het gelijkheidsteken, dan vinden we inderdaad het vermelde
resultaat.
O
O 8.3.1. SAMENGESTELDE FUNCTIES (P. 174)
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper louiseevens. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor $8.62. Je zit daarna nergens aan vast.
