Mathématiques - Chapitre 2 "Fonctions De Plusieurs Variables" - S1L1
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Course
Mathématiques
Institution
Aix-Marseille (AMU)
Dans ce fichier vous y trouverez tout le contenu du cours de Mathématiques sur le Chapitre 2. Avec toutes les notions, calculs, théorèmes ainsi que de nombreux exemples pour approfondir les notions.
INTRODUCTION :
Dans ce chapitre nous allons étudier des fonctions qui dépendent non plus d’une variable x mais de 2
variables x et y ou 3 variables (x, y, z ou x, y, ƛ).
x
EXEMPLES :
• Aire d’un rectangle y
A (x, y) = x y à 2 variables
• Pour un concert, si on considère x places à 50€, y places à 20€ et z places à 10€.
La recette est alors R (x, y, z) = 50x+20y+10z à 3 variables.
I. "DÉRIVÉE" D’UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
La notion de dérivée à une fonction de plusieurs variable n’existe pas !
Il existe : • Des dérivées partielle ;
• Le gradient ;
• Un différentiel.
DÉFINITIONS : (dérivée partielle)
• En 2 variables, une fonction f (x, y) possède 2 dérivées partielles.
𝓞𝐟
(x, y) est la dérivée partielle de f en x, c’est-à-dire la dérivée de la fonction Xàf (x, y).
𝓞𝐱
𝓞𝐟
(x, y) est la dérivée partielle de f en y, c’est-à-dire la dérivée de la fonction yà f (x, y).
𝓞𝐲
En pratique pour calculer une dérivée partielle par rapport à une variable, on considère que les autres
variables sont fixes puis on dérive comme une fonction de variable.
• En 3 variables c’est le même principe, une fonction f (x, y, z) possède 3 dérivées partielles
𝓞𝐟 𝓞𝐟 𝓞𝐟
(x, y, z) (x, y, z) (x, y, z)
𝓞𝐱 𝓞𝐲 𝓞𝐳
, DÉFINITION : On appelle gradient le vecteur colonne forme de toutes les dérivées partielles de f. On le
note 99999999999⃗
grad f(x, y) ou ∇𝑓 (∇ est une lettre groupe "noble")
II. DÉRIVÉES PARTIELLE SECONDES ET MATRICE HESSIENNE
DÉFINITION : (Dérivée partielles secondes ou dérivées partielles d’ordre 2)
• En 2 variables, f (x, z) possède dérivée partielle seconde.
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de x ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪'𝒪' 𝒪'
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de y ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪(𝒪' 𝒪'
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de x ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪'𝒪( 𝒪(
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de y ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪(𝒪( 𝒪(
Notation :
𝒪!& 𝒪!&
𝒪'𝒪'
peut se notée 𝒪) !
𝒪!& 𝒪!&
𝒪(𝒪(
peut se notée 𝒪* !
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