Mathématiques - Chapitre 2 "Fonctions De Plusieurs Variables" - S1L1
9 views 0 purchase
Course
Mathématiques
Institution
Aix-Marseille (AMU)
Dans ce fichier vous y trouverez tout le contenu du cours de Mathématiques sur le Chapitre 2. Avec toutes les notions, calculs, théorèmes ainsi que de nombreux exemples pour approfondir les notions.
INTRODUCTION :
Dans ce chapitre nous allons étudier des fonctions qui dépendent non plus d’une variable x mais de 2
variables x et y ou 3 variables (x, y, z ou x, y, ƛ).
x
EXEMPLES :
• Aire d’un rectangle y
A (x, y) = x y à 2 variables
• Pour un concert, si on considère x places à 50€, y places à 20€ et z places à 10€.
La recette est alors R (x, y, z) = 50x+20y+10z à 3 variables.
I. "DÉRIVÉE" D’UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
La notion de dérivée à une fonction de plusieurs variable n’existe pas !
Il existe : • Des dérivées partielle ;
• Le gradient ;
• Un différentiel.
DÉFINITIONS : (dérivée partielle)
• En 2 variables, une fonction f (x, y) possède 2 dérivées partielles.
𝓞𝐟
(x, y) est la dérivée partielle de f en x, c’est-à-dire la dérivée de la fonction Xàf (x, y).
𝓞𝐱
𝓞𝐟
(x, y) est la dérivée partielle de f en y, c’est-à-dire la dérivée de la fonction yà f (x, y).
𝓞𝐲
En pratique pour calculer une dérivée partielle par rapport à une variable, on considère que les autres
variables sont fixes puis on dérive comme une fonction de variable.
• En 3 variables c’est le même principe, une fonction f (x, y, z) possède 3 dérivées partielles
𝓞𝐟 𝓞𝐟 𝓞𝐟
(x, y, z) (x, y, z) (x, y, z)
𝓞𝐱 𝓞𝐲 𝓞𝐳
, DÉFINITION : On appelle gradient le vecteur colonne forme de toutes les dérivées partielles de f. On le
note 99999999999⃗
grad f(x, y) ou ∇𝑓 (∇ est une lettre groupe "noble")
II. DÉRIVÉES PARTIELLE SECONDES ET MATRICE HESSIENNE
DÉFINITION : (Dérivée partielles secondes ou dérivées partielles d’ordre 2)
• En 2 variables, f (x, z) possède dérivée partielle seconde.
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de x ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪'𝒪' 𝒪'
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de y ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪(𝒪' 𝒪'
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de x ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪'𝒪( 𝒪(
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de y ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪(𝒪( 𝒪(
Notation :
𝒪!& 𝒪!&
𝒪'𝒪'
peut se notée 𝒪) !
𝒪!& 𝒪!&
𝒪(𝒪(
peut se notée 𝒪* !
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller DamienGth. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $6.44. You're not tied to anything after your purchase.
