Mathématiques - Chapitre 2 "Espaces Vectoriels"

CHAPITRE II
LA NOTION D’ÉSPACE VECTORIEL




I. STRUCTURE D’ÉSPACE VECTORIEL

La notion d’espace vectoriel est une notion de ”structure” mathématiques comme il en existe beaucoup
d’autres : Il s’agit de reconnaître qu’un grand nombre d’objets à priori très différents (fonctions, suites,
polynômes etc ...) ont, en fait, des comportements algébriques (c’est à dire pour les opérations d’addition ...)
assez proches. On les regroupe donc dans un ”label” qui nous permettra d’énoncer des résultats qui seront
valables pour des objets à priori très différents.

(Espace vectoriel) :
Soit 𝐸 un ensemble. On dit que 𝐸 est un espace vectoriel (réel) s’il est muni de deux opérations :
- Une addition interne :
+: 𝐸 × 𝐸 → 𝐸
(𝑢(⃗, 𝑣⃗) → 𝑢 (⃗ + 𝑣⃗
- Un produit externe par un réel :
.∶ ℝ × 𝐸 → 𝐸
(𝛼, 𝑢 (⃗) → 𝛼. 𝑢 (⃗
Qui vérifient les 8 axiomes suivantes :
1. Associativité :∀𝑢 (⃗, 𝑣⃗, 𝑤
((⃗ ∈ 𝐸, 𝑢(⃗ + (𝑣⃗ + 𝑤 ((⃗) = (𝑢 (⃗ + 𝑣⃗) + 𝑤 ((⃗
2. Commutativité : :∀𝑢 (⃗, 𝑣⃗, ∈ 𝐸, 𝑢(⃗ + 𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑢 (⃗
3. Vecteur nulle : Il existe un vecteur noté 0 (⃗ 𝑡. 𝑞. ∀𝑢 (⃗, ∈ 𝐸, 0(⃗ + 𝑢(⃗ = 𝑢(⃗
4. Opposé :∀𝑢 (⃗ ∈ 𝐸 il existe un vecteur noté −𝑢 (⃗ ∈ 𝐸 𝑡. 𝑞. 𝑢 (⃗ + (−𝑢 (⃗) = (−𝑢
(⃗) + 𝑢 (⃗
(⃗ = 0
5. ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, ∀𝑢 (⃗ ∈ 𝐸, 𝛼. (𝛽. 𝑢 (⃗) = (𝛼. 𝛽). 𝑢 (⃗
6. ∀𝛼 ∈ ℝ, ∀𝑢 (⃗, 𝑣⃗ ∈ 𝐸, 𝛼. (𝑢 (⃗ + 𝑣⃗) = 𝛼. 𝑢 (⃗ + 𝛼. 𝑣⃗
7. ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, ∀𝑢 (⃗ ∈ 𝐸, (𝛼 + 𝛽). 𝑢 (⃗ = 𝛼. 𝑢(⃗ + 𝛽. 𝑢 (⃗
8. ∀𝑢 (⃗ ∈ 𝐸, 1. 𝑢(⃗ = 𝑢 (⃗
Les éléments de 𝐸 sont alors appelés des vecteurs et les réels de ℝ des scalaires.

EXEMPLES :
- L’ensemble des nombres réels (ℝ, +, ∙) ;
- Par extension l’ensemble des espaces (ℝ! , +, ∙) avec les opérations usuelles
𝑥" 𝑦" 𝑥" + 𝑦" 𝛼𝑥"
∀𝛼 ∈ ℝ, ∀𝑥⃗ = > ⋮ @ , ∀𝑦⃗ = > ⋮ @ ∈ ℝ , 𝑥⃗ + 𝑦⃗ > ⋮ @ , 𝛼. 𝑥⃗ > ⋮ @
!
𝑥! 𝑦! 𝑥! + 𝑦! 𝛼𝑥!
∗
- L’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 𝑛 ∈ ℕ
(ℝ! [𝑋], + ∙) = ({𝑃(𝑋) = 𝑎$ + 𝑎" 𝑋 + ⋯ + 𝑎! 𝑋 ! , 𝑎% ∈ ℝ}, +,∙)
L’addition de deux polynômes se faisant en additionnant leurs coefficients degré par degré. Vérifiez que
les propriétés 1) à 8) sont bien satisfaites…
(2𝑥 & + 𝑥) + (𝑥 + 3) = 2𝑥 & + 2𝑥 + 3

, n 0 1 n…
Un U0 Un Un…
(⃗ = (0, 0, 0, … )
0
- L’ensemble des suites réelles
(ℝ' , +,∙) = ((𝑢! )!∈ℕ , +,∙)
- L’ensemble des fonctions réelles avec l’addition que vous connaissez des fonctions :
({𝑓: ℝ → ℝ}, +,∙)
Þ𝑓 + 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
- L’ensemble de toutes les fonctions affines avec l’addition est le produit par un scalaire usuel (cf
démonstration Hayek-Leca)
- La liste est non exhaustive, on verra bientôt l’espace vectoriel des matrices réelles…

Quelques règles de calcul qui vont de soi dans les exemples mais qui sont vraies en toute généralité pour
n’importe quel espace vectoriel (elles découlent des 8 axiomes de la définition) :

PROPOSITION :
- Le vecteur nul 0 (⃗ et l’opposé −𝑢 (⃗ d’un vecteur sont uniques.
- ∀𝑢 (⃗ = (0⃗, (−1). 𝑢
(⃗ ∈ 𝐸, 0. 𝑢 (⃗ = −𝑢 (⃗
- ∀𝛼 ∈ ℝ, 𝛼. 0 (⃗ = 0(⃗
- 𝛼. 𝑥⃗ = (⃗
0 ⟺ 𝛼 = 0 𝑜𝑢 𝑥⃗ = 0 (⃗ ∈ ℝ