Summary
Samenvatting Wiskunde Voor Ontwerpers
- Course
- Institution
Alle hoorcolleges gegeven door prof. Lieven Le Bruyn. Quiz's worden op een aparte document.
[Show more]
Seller
Follow
beatrizsarriafernandes
Reviews received
Content preview
Wiskunde voor OntwerpersHoofdstuk 1: Plannen en veelvlakken
Plan: De plaatsing van een aantal muren die het bouwoppervlak opdelen in een aantal ruimten zodat
een aantal activiteiten kunnen plaatsvinden.
Vlakke graf: Hoekpunten die verbonden zijn met zijden, die elkaar niet snijden en het vlak opdelen in
gebieden, waaronder ook de buitenruimte. Gebieden (kamers) zijn aangrenzend als ze een zijde
gemeen hebben.
Een plan kunnen we schetsmatig voorstellen door een vlakke graf, dat is een aantal hoekpunten
(waar muren samenkomen), een aantal zijden die deze hoekpunten verbinden (muur-fragmenten) en
die het vlak opdelen in een aantal gebieden (de kamers en de buitenruimte).
In dit voorbeeld is het aantal hoekpunten V (van ‘vertices’) gelijk aan 12,
het aantal zijden E (van ‘edges’) gelijk aan 16 en het aantal gebieden F
(van ‘faces’) gelijk aan 6 (5 kamers plus de buitenruimte)
V–E+F=2
Duale graf: die een hoekpunt heeft voor elke kamer en een zijde heeft tussen twee hoekpunten juist
dan als de kamers een muur fragment gemeen hebben.
Voor deze blauwe vlakke graf hebben we V = 5; E =7 en F= 4 en
wederom is V – E + F = 2
Trivalente vlakke graf: In elk hoekpunt komen juist drie zijden toe, en aangrenzende gebieden blijven
aangrenzend.
3-samenhangende trivalente vlakke graf: alle hoekpunten blijven verbonden als je één of twee zijden
verwijderd
, Schröder-huis plan -> 3-samenhangende trivalente vlakke graf
Veelvlak: ruimtelijke figuur verkregen door veelhoeken langs gemeenschappelijke zijden aan elkaar
te plakken. Elk hoekpunt is volledig omringd door zijvlakken en elke ribbe is de grens van juist twee
zijvlakken.
Convex veelvlak: veelvlak zodat in elk hoekpunt de som van de binnenhoeken van de aangrenzende
zijvlakken minder is dan 360°.
Trivalent convex veelvlak: convex veelvlak zodat ik elk hoekpunt juist drie zijvlakken samenkomen.
Stelling van Ernst Steinitz: Elke 3-samenhangende trivalente vlakke graf is de projectie van de ribben
van een trivalent convex veelvlak.
- Het zijvlak geeft de rand van de vlakke graf.
- Het aantal gebieden van de vlakke graf is gelijk aan het aantal
zijvlakken van het veelvlak.
- Het aantal hoekpunten van een gebied van de graf komt
overeen met het aantal hoekpunten van het zijvlak.
- We kennen alle configuraties van n kamers indien we alle
trivalente convexe veelvlakken kennen met n + 1 zijvlakken.
Elk trivalent convex veelvlak met ten hoogste 11 zijvlakken krijgen we uit de tetraheder door
opeenvolging van:
Afknippen van een hoekpunt. (om zo een extra driehoekig zijvlak te maken)
Opentrekken van een ribbe, indien mogelijk (als die grenst aan minstens 4-hoeken, om zo
een extra vierhoekig zijvlak te maken)
,Er bestaat dus essentieel maar één trivalent convex veelvlak met 5 zijvlakken dat we krijgen door een
top van de tetraheder te knippen, bijvoorbeeld het driehoekig prisma.
Dat twee driehoekige zijvlakken heeft en drie vierhoekige zijvlakken. -> We kunnen het driehoekig
prisma projecteren vanuit een driehoekig zijvlak of vanuit een vierhoekig zijvlak.
Uit het driehoekig prisma krijgen we de twee essentieel unieke trivalente convexe veelvlakken met 6
zijvlaken: we kunnen een opstaande zijde openrekken en dan krijgen we een balk die 6 vierhoekige
zijvlakken heeft, of we kunnen een top afknippen en dan krijgen we het veelvlak dat 2 vijfhoekige
zijvlakken heeft, 2 vierhoekige en 2 driehoekige.
Uit de twee trivalente convexe veelvlakken met 6 zijvlakken krijgen we alle vereenvoudigde
configuraties met 5 kamers. De balk kunnen we enkel projecteren vanuit een vierhoekig zijvlak, maar
de andere figuur kunnen we projecteren vanuit een driehoekig, een vierhoekig of vijfhoekig zijvlak.
De met †
aangeduide
configuratie is deze
van het
vereenvoudigde
Schröder-huis
grondplan.
, Hoofdstuk 2: symmetrie en orbifolds
Symmetrie: dit patroon is een operatie op het vlak dat dit patroon bewaart.
We onderscheiden verschillende zulke operaties.
- Translaties: verschuiven het gehele vlak in een bepaalde richting over een bepaalde afstand.
- Spiegelingen: spiegelingen het vlak ten opzichte van een rechte, de spiegel-as.
- Rotaties: draaien het vlak ten opzichte van een punt, het rotatie-centrum, over een bepaalde
hoek, de rotatie hoek.
- Glij-spiegeling: de samenstelling van een spiegeling met een translatie evenwijdig met de
spiegel-as.
Orbifold: kleinste deel van het patroon waaruit we het volledige patroon krijgen door symmetrie
operaties.
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller beatrizsarriafernandes. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $6.97. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
49497 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now