Summary
Analyse - Deel 2: samenvatting Theorie
- Course
- Institution
Zeer uitgebreid en gedetailleerd document, bevat alle geziene en te kennen afleidingen en bewijzen.
[Show more]
Seller
Follow
jefvanhoudt
Reviews received
Content preview
DefinitiesHoofdstuk 3: Stelsel differentiaalvergelijkingen
Stelling 3.1.1 – Existentie- en éénduidigheidsstelling
Zij A(t) en B(t) continu in interval I en t 0 ∈ I , dan heeft het beginwaardeprobleem
⃗
Y ( t )= A ( t ) ⃗ B (t) en ⃗
Y ( t ) +⃗ Y ( t 0 )=Y⃗0 slechts één oplossing
'
Definitie 3.2.1 – Lineaire onafhankelijkheid
De vectorfuncties ⃗
Y 1 (t) , ⃗
Y 2 ( t ) , … , Y⃗n (t ) zijn lineair onafhankelijk op interval I , indien
n
∑ ci ⃗Y i ( t )= ⃗0 op I , impliceert dat c i=0 ,i=1 , … , n
i=1
Definitie 3.2.2 – Lineaire afhankelijkheid
De vectorfuncties ⃗
Y 1 (t) , ⃗
Y 2 ( t ) , … , Y⃗n (t ) zijn lineair afhankelijk op interval I , indien er constanten c i
n
bestaan, niet alle 0, zodanig dat ∑ ci ⃗Y i ( t )= ⃗0 voor alle t ∈ I
i=1
Definitie 3.2.3 Fundamenteel stel oplossingen
De verzameling vectorfuncties {Y
⃗1 ( t ) , ⃗ Y n (t) } vormt een fundamenteel stel oplossingen voor
Y 2 (t ) , … , ⃗
het homogeen stelsel ⃗
Y ' (t )= A ( t ) ⃗
Y ( t ) op I indien
i. ⃗
Y i ( t )= A ( t ) Y⃗ i ( t ) ,i=1 , … , n
'
ii. ⃗
Y 1 (t) , ⃗
Y 2 ( t ) , … , Y⃗n (t ) lineair onafhankelijk zijn op I
Bewijs: We beschouwen de lineaire afhankelijkheid
De voorwaarde is nodig:
Uit de definitie van lineaire onafhankelijkheid volgt dat er coëfficiënten c i bestaan – niet allen nul
– zodat
n
∑ ci ⃗Y i ( t )= ⃗0
i=1
Vermits dit geldt ∀ t ∈ I :
n
∑ ci ⃗Y i ( t0 ) =⃗0
i=1
Of m.a.w. de vectoren ⃗
Y 1 ( t0 ) , ⃗
Y 2 ( t0 ) , … , ⃗
Y n ( t 0 ) zijn lineair onafhankelijk.
, De voorwaarde is voldoende:
Stel dat er constanten c i – niet allen nul – bestaan zodat:
n
∑ ci ⃗Y i ( t )= ⃗Y ( t )
i=1
Deze vectorfunctie is een oplossing van het homogeen stelsel vermits:
n n
⃗
Y ' ( t ) =∑ c i ⃗
Y ' i ( t )=∑ c i A i ( t ) Y⃗ i ( t )= A ( t ) Y⃗ ( t )
i=1 i=1
Zij voldoet bovendien aan de beginvoorwaarden ⃗ Y ( t 0 )=0⃗ en moet dus volgens de
eenduidigheidsstelling gelijk zijn aan de triviale oplossing. Daarmee is aangetoond dat de
vectorfuncties ⃗
Y 1 (t) , ⃗
Y 2 ( t ) , … , Y⃗n ( t ) voldoen aan de lineaire onafhankelijkheid.
Stelling 3.2.5 – Algemene oplossing van een homogeen stelsel.
Zij {Y
⃗1 ( t ) , ⃗ Y n (t) } een fundamenteel stel oplossingen van ⃗
Y 2 (t) , … , ⃗ Y (t )= A ( t ) ⃗
'
Y ( t ), dan wordt de
algemene oplossing van het homogeen stelsel gegeven door
n
Y ( t )=∑ c i Y⃗ i ( t )
⃗
i=1
met c 1 , c2 , … c n willekeurige constanten.
Stelling 3.3.1 – Algemene oplossing van een niet-homogeen stelsel.
Zij {Y
⃗1 ( t ) , ⃗ Y n (t) } een fundamenteel stel oplossingen van ⃗
Y 2 (t) , … , ⃗ Y ( t ) en ⃗
Y ' (t )= A ( t ) ⃗ Y p ( t ) een
gekende oplossing van ⃗
Y ( t )= A ( t ) ⃗
'
Y ( t ) +⃗
B (t) dan wordt de algemene oplossing van het niet-homogeen
stelsel gegeven door
n
⃗ Y p ( t ) + ∑ ci ⃗
Y ( t )=⃗ Y i(t )
i=1
met c 1 , c2 , … c n willekeurige constanten.
Bewijs: De vectorfunctie ⃗
U ( t )= ⃗
Y ( t ) −⃗
Y p ( t ) voldoet aan het homogeen stelsel immers:
U (t)=⃗
⃗ Y ( t )−⃗
' ' '
Y p (t)
¿ A ( t )∗⃗ Y (t)+⃗ B ( t )− A ( t )∗⃗
Y p ( t )− ⃗
'
B (t )
⃗ ⃗
¿ A ( t ) ( Y ( t ) −Y p ( t ) )
¿ A ( t )∗U ⃗ (t )
n
Uit ⃗
Y ' ( t )= ∑ c i Y⃗ i ( t ) volgt aan onmiddellijk hetzelfde
i=1
,3.3.2 De methode van de variatie van de constanten
We geven nu een algemene methode voor het vinden van een particuliere oplossingen ⃗Y p ( t ). Verwijzend
naar de matrixoplossing Z(t) kan de algemene oplossing van het homogeen stelsel ook geschreven
worden als
[]
c1
⃗ ⃗ c
Y h ( t ) =Z ( t ) ⃗
C met C= 2
…
cn
We zoeken dan een particuliere oplossing van het niet-homogeen stelsel in de vorm
⃗ ⃗ (t)
Y p ( t )=Z ( t ) C
Ingevuld in ⃗
Y ( t )= A ( t ) ⃗
'
Y ( t ) +⃗
B (t ) geeft dit de voorwaarde
⃗
Y p (t )= A ( t ) ⃗
'
Y p ( t ) +⃗
B (t)
' ⃗ ⃗ ' ⃗ (t)+ ⃗
Z ( t ) C ( t ) +Z ( t ) C ( t )= A ( t ) Z ( t ) C B (t )
Rekening houdend met Z' ( t )=A ( t ) Z ( t )
⃗ ' ( t )= ⃗
Z (t )C B (t )
⃗
C ( t )=Z (t) ⃗
' −1
B (t )
t
C ( t )=∫ Z ( ξ ) ⃗
−1
B ( ξ ) dξ
t0
Met t 0 ∈ I . De algemene oplossing van in ⃗
Y ' (t )= A ( t ) ⃗
Y ( t ) +⃗
B (t) wordt dus gegeven door
( )
t
⃗
Y ( t )= ⃗ C +∫ Z ( ξ ) ⃗
Y h ( t ) + Y⃗ p ( t )=Z ( t ) ⃗
−1
B ( ξ ) dξ
t0
Substitueren we hierin de waarde t=t 0, dan bekomen we
⃗
Y ( t 0 )=Z ( t 0 ) ⃗
C of ⃗
C=Z−1 ( t 0 ) ⃗
Y0
De oplossing van het beginwaardeprobleem wordt dus
( )
t
Y ( t )=Z ( t ) Z ( t 0 ) Y⃗ 0+∫ Z ( ξ ) ⃗
⃗ −1 −1
B ( ξ ) dξ
t0
Stelling 3.4.4 Oplossing van het homogeen stelsel
, Beschouw het homogeen stelsel ⃗
Y ' ( t )= A . ⃗
Y ( t ) met A een constante n x n – matrix voor elke
eigenwaarde x met bijhorden eigenvector ⃗
E is ⃗
Y ( t )= ⃗
E . e λt een oplossing.
Bewijs: Uit ⃗
Y ( t )= ⃗
λt
E . e volgt dat
⃗
Y ' ( t )=⃗
E λe
λt
Vermits A ⃗
E =λ ⃗
E geldt dat
⃗
Y ' ( t )=A ⃗
E e λt = A . ⃗
Y (t )
3.4.3 Oplossing van het niet-homogeen stelsel
Ook voor het vinden van een particuliere oplossing van een niet-homogeen stelsel
⃗
Y (t )= A Y⃗ ( t )+ ⃗
'
B (t)
Met A een n × n constante matrix, kunnen we op een efficiënte manier gebruik maken van de
eigenwaarden en eigenvectoren van A . We beschouwen enkel het geval dat A allemaal reële
eigenwaarden en lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft. Substitutie van A=P J P−1 in
bovenstaande vergelijking geeft
⃗
Y ' (t )=P J P−1 Y⃗ ( t ) + ⃗
B (t)
P Y ( t )=J P Y ( t ) + P ⃗
⃗ ⃗
−1 ' −1 −1
B (t)
Stellen we dan
⃗
U ( t )=P ⃗
−1
Y (t )
⃗
C ( t )=P ⃗
−1
B (t )
Dan hebben we het oorspronkelijke stelsel teruggebracht tot
⃗ '
⃗ ( t ) +⃗
U ( t ) =J U C( t)
Dit nieuwe stelsel is ontkoppeld in n eerste orde differentiaalvergelijkingen die één na één afzonderlijk
kunnen opgelost worden. Uitgeschreven wordt dit stelsel immers
u'i ( t )=λi ui ( t ) +c i ( t ) , i=1 , … ,n
Met als algemene oplossing
( )
t
K i+∫ e
λ il −λ i l
ui ( t )=e c i ( ξ ) dξ
t0
En K i een constante. Hebben we een beginwaardenprobleem
⃗
Y ( t 0 )=Y⃗0
Dan kunnen deze voorwaarden onmiddellijk in rekening gebracht worden vermits
⃗
U ( t 0 )=P ⃗
−1
Y0
−λ i l
We stellen K i=e ui ( t 0 ) , i=1 , … , n.
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller jefvanhoudt. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $9.71. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
67866 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now