Summary
Samenvatting Vector Calculus (FEB21023)
- Course
- Institution
Uitgebreide samenvatting van Vector Calculus (econometrie EUR)
[Show more]
Seller
Follow
LeonVerweij
Reviews received
Content preview
Week 1Eigenwaarde en eigenvector
Zij A een n × n matrix. Een scalaire λ is een eigenwaarde als er een vector x bestaat,
waarvoor 𝑥 ≠ 0 en 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥. In dit geval noemen we x een eigenvector.
Checken of getal eigenwaarde is
Getal is een eigenwaarde als de nulruimte van 𝐴 − 𝜆𝐼 ten minste één vector x bevat, 𝑥 ≠ 0
Eigenruimte
Zij A een n × n matrix en λ een eigenwaarde van A. De verzameling van alle eigenvectoren
behorend bij λ, samen met de nulvector, is de eigenruimte van λ in A, en noteren we als 𝐸!
Inhoud eigenruimte
Als 𝑥 een eigenvector is, is 𝑐𝑥 ook een eigenvector
Als 𝑦 ook een eigenvector is met de eigenwaarde 𝜆 van A, dan is elke lineaire combinatie
van 𝑥 en 𝑦, 𝑧 = 𝑐" 𝑥 + 𝑐# 𝑦, ook een eigenvector behorend bij de eigenwaarde λ van A
Dus voor matrix A met eigenwaarde λ zodanig dat 𝑥" , … , 𝑥$ allen eigenvectoren zijn, geldt
dat alle lineaire combinaties van 𝑥" , … , 𝑥$ ook eigenvectoren zijn, oftewel
𝑠𝑝𝑎𝑛(𝑥" , … , 𝑥$ ) ⊆ 𝐸!
Eigenruimte bepalen voor een gegeven eigenwaarde
Zij A een matrix met eigenwaarde λ. De eigenruimte 𝐸! bevat alle vectoren x zodat
(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑥 = 0, oftewel de eigenruimte 𝐸! is de nulruimte van (𝐴 − 𝜆𝐼)
Eigenwaarde bepalen
Zij A een n × n matrix. De waarde λ is een eigenwaarde als ∃𝑥 ≠ 0 zodat 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥
⟹ de nulruimte van(𝐴 − 𝜆𝐼) is niet leeg
⟹ (𝐴 − 𝜆𝐼) is niet inverteerbaar
⟹ de determinant van (𝐴 − 𝜆𝐼) is gelijk aan 0
Karakteristieke polynoom
De uitdrukking 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) noemen we de karakteristieke polynoom in λ
Karakteristieke vergelijking
De vergelijking 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 noemen we de karakteristieke vergelijking in λ
Hoofdstelling van de Algebra
Elk polynoom 𝑃(𝜆) van graad n is te schrijven als product van n lineaire factoren
𝑃(𝜆) = 𝑎(𝜆 − 𝑏" )(𝜆 − 𝑏# ) … (𝜆 − 𝑏% ) met 𝑎 ≠ 0 en 𝑎 en 𝑏& complexe getallen zijn
Algebraïsche multipliciteit
De algebraïsche multipliciteit van een eigenwaarde 𝜆 = 𝑐 is het aantal keer dat de factor
(𝜆 − 𝑐) voorkomt in de karakteristieke polynoom
Geometrische multipliciteit
De dimensie van een eigenruimte behorend bij de eigenwaarde λ, noemen we de
geometrische multipliciteit van de eigenwaarde λ
Eigenwaarde van driehoeksmatrices
De eigenwaarden van een driehoeksmatrix zijn de diagonaalelementen
Eigenwaarde van inverteerbare matrices
Een n × n matrix A is inverteerbaar ⟺ 0 geen eigenwaarde is van A
Spoor en determinant
Zij A een n × n matrix met eigenwaarden 𝜆" , … , 𝜆% die niet noodzakelijk allemaal verschillend
zijn. Er geldt spoor(𝐴) = ∑%&'" 𝜆& en det(𝐴) = ∏%&'" 𝜆&
Eigenwaarden van machten van matrices
Zij A een n × n matrix met eigenwaarde λ en bijbehorende eigenvector x, zodat
𝐴𝑥 = 𝜆𝑥, dan geldt
a) Voor een positief geheel getal m geldt dat 𝜆( een eigenwaarde is van 𝐴(
"
b) Als A inverteerbaar is dan is ! een eigenwaarde van 𝐴 )"
c) Als A inv is dan geldt voor elk geheel getal m dat 𝜆( een eigenwaarde is van 𝐴(
, Vectoren die geen eigenvectoren zijn
Zij A een n x n matrix met eigenvectoren 𝑣" , … , 𝑣( en bijbehorende eigenwaarden
respectievelijk 𝜆" , … , 𝜆( . Als 𝑥 ∈ ℝ% geschreven kan worden als een lineaire combinatie van
de eigenvectoren, oftewel 𝑥 = 𝑐" 𝑣" + ⋯ + 𝑐( 𝑣( , dan geldt voor elk geheel getal 𝑘 ≥ 0, en
als A inverteerbaar is ook voor elk geheel getal 𝑘 < 0, dat 𝐴$ 𝑥 = 𝑐" 𝜆"$ 𝑣" + ⋯ + 𝑐( 𝜆$( 𝑣(
Stellingen opdrachten
a) A is een nilpotente matrix (𝐴( = 0) ⟹ 𝜆 = 0 is de enige eigenwaarde
b) A is een idempotente matrix is (𝐴# = 𝐴) ⟹ 𝜆 = 1 en 𝜆 = 0 zijn de enige eigenwaarde
Week 2
Lineaire onafhankelijkheid van eigenvectoren
Zij A een n × n matrix en 𝜆" , … , 𝜆( verschillende bijbehorende eigenwaarden met
eigenvectoren respectievelijk 𝑣" , … , 𝑣( . De eigenvectoren 𝑣" , … , 𝑣( zijn lineair
onafhankelijk
Gelijksoortigheid
De n × n matrices A en B zijn gelijksoortig als er een inverteerbare n × n matrix P bestaat
zodat 𝑃)" 𝐴𝑃 = 𝐵. In dat geval schrijven we 𝐴 ~ 𝐵
Equivalentie relatie gelijksoortigheid
Zij A, B en C n × n matrices, dan geldt
a) 𝐴 ~ 𝐴
b) als 𝐴 ~ 𝐵 dan 𝐵 ~ 𝐴
c) als 𝐴 ~ 𝐵 en 𝐵 ~ 𝐶 dan 𝐴 ~ 𝐶
Eigenschappen van gelijksoortige matrices
Zij A en B n × n matrices zodat 𝐴 ~ 𝐵, dan geldt
a) 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝐵)
b) A is inverteerbaar ⟺ B inverteerbaar is
c) 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐵)
d) A en B hebben dezelfde karakteristieke polynoom
e) A en B hebben dezelfde eigenwaarden
f) 𝐴( ~ 𝐵( voor elk geheel getal 𝑚 ≥ 0
g) Als A inverteerbaar is dan 𝐴( ~ 𝐵( voor elk geheel getal m
Matrices kunnen aan alle eigenschappen voldoen maar niet gelijksoortig zijn
Als aan tenminste 1 eigenschap niet voldaan wordt, zijn de matrices niet gelijksoortig
Diagonaliseerbaarheid
Een n × n matrix A is diagonaliseerbaar als er een diagonaalmatrix D bestaat zodat 𝐴 ~ 𝐷
oftewel, als er een inverteerbare matrix P en diagonaalmatrix D bestaan zodat 𝑃)" 𝐴𝑃 = 𝐷
Diagonalisatie en eigenwaarden en eigenvectoren
Een n × n matrix A is diagonaliseerbaar ⟺ er 𝑛 lineair onafhankelijke eigenvectoren
behoren bij A
Om precies te zijn, ∃ 𝑖𝑛𝑣 𝑃 en diagonaalmatrix D zodat 𝑃)" 𝐴𝑃 = 𝐷 ⟺ de kolommen van P
bestaan uit 𝑛 lineair onafhankelijke eigenvectoren van A en de diagonaalelementen van D
respectievelijk de bijbehorende eigenwaarden zijn
𝑛 verschillende eigenwaarden
Als A een n × n matrix is met n verschillende eigenwaarden dan is A diagonaliseerbaar
Bases van eigenruimtes stelling
Zij A een n × n matrix met verschillende eigenwaarden 𝜆" , … , 𝜆$ . Als 𝛽& een basis is voor de
eigenruimte 𝐸!! dan zijn de vectoren in verzameling 𝛽 = 𝛽" ∪ … ∪ 𝛽$ lineair onafhankelijk
Algebraïsche en geometrische multipliciteit
Zij 𝜆 een eigenwaarde van de n × n matrix A. De geometrische multipliciteit van 𝜆 is kleiner
of gelijk aan de algebraïsche multipliciteit
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller LeonVerweij. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $7.56. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
56326 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now