Samenvatting

samenvatting 2DD80

1 keer verkocht

Vak
Statistics For Industrial Engineering (2DD80)

Instelling
Technische Universiteit Eindhoven (TUE)

Boek
Applied Statistics and Probability for Engineers

Deze samenvatting bevat alle theorie die nodig is voor het tentamen 2DD80. Daarnaast bevat het document een voorbeeldopgave voor elk stuk theorie om je kennis te testen en te zien hoe de theorie wordt toegepast in een opgave

[Meer zien]

Voorbeeld 4 van de 47 pagina's

Bekijk voorbeeld

Heel boek samengevat? Nee
Wat is er van het boek samengevat? Hoofdstuk 4 tot en met 11
Geupload op 18 oktober 2022
Aantal pagina's 47
Geschreven in 2022/2023
Type Samenvatting

probability
density function
mean
variance
hypothesis

Titel boek:Applied Statistics and Probability for Engineers

Auteur(s):Douglas C. Montgomery, George C. Runger

Uitgave:Onbekend
ISBN:9781119585596
Druk:7

Instelling
Technische Universiteit Eindhoven (TUE)
Studie
Industrial Engineering
Vak
Statistics For Industrial Engineering (2DD80)

$6.17

In winkelwagen

Opslaan

100% tevredenheidsgarantie
Direct beschikbaar na je betaling
Lees online óf als PDF
Geen vaste maandelijkse kosten

Chapter 4

4.1

Probability density function:
For a continuous random variable X, a probability density function is a function such that
1. F ( x)≥0
∞
2. ∫ f ( x ) dx=1
−∞
b
3. P ( a ≤ X ≤ b )=∫ f ( x ) dx = area under f(x) from a to b for any a and b
a

If X is a continuous random variable, for any x1 and x2,
P ( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) =P ( x 1< X ≤ x 2 )=P ( x 1 ≤ X < x 2 )=P(x 1< X < x 2)

Example
−x
f ( x ) ¿ e for 0< x
∞
a. P ( 1< x )=∫ e−x dx=[−e−x ]=e−1 =0.2858
1
2.5
P ( 1< x<2.5 )=∫ e dx=[−e ]=e −e
−x −x −1 −2.5
b. =0.2037
1
4
P ( x< 4 )=∫ e dx=[−e ]=1−e =0.9817
−x −x −4
c.
0
x
P ( X < x )=0.10 →∫ e dx=[−e ]=1−e =0.10→ x=−ln ( 0.9 )=0.1054
−x −x −x
d.
0

4.2

The cumulative distribution function of a continuous random variable is
x
F ( x )=P ( X ≤ x ) =∫ f ( u ) du for−∞ < x <∞
−∞

Probability density function from the cumulative distribution function
dF (x )
Given F(x), f ( x )= as long as the derivative exists
dx

Example

{
0 x <0
F ( x )= 0.25 x 0 ≤ x< 5
1 5≤ x

a. P ( x<2.8 )=P( x ≤2.8) because X is a continuous random variable.
Then, P( X< 2.8)=F(2.8)=0.2(2.8)=0.56
b. P ( x>5 )=1−P ( x ≤ 1.5 )=1−0.2 ( 1.5 )=0.7
c. P ( X ←2 )=Fx (−2 )=0

, d. P ( x> 6 )=1−Fx ( 6 )=0

4.3

The mean or expected value of X, denoted as u or E(X) is
∞
μ= E ( X )= ∫ f ( u ) du for−∞ < x< ∞
−∞

The variance of X, denoted as V(X) or σ2 is
∞
σ =V ( X )= ∫ ¿ ¿
2

−∞

The standard deviation of X is σ =√ σ 2

Expected value of a function of a continuous random variable
E¿

Example
2
f ( x )=1.5 x for−1< x< 1

[ ]
1 4
x
a. E ( X ) =∫ 1.5 x dx= 1.5
3
=0
−1 4
1
b. V ( X )=∫ 1.5 x ¿ ¿
3

−1

4.4

Continuous uniform distribution
A continuous random variable X with a probability density function
1
f ( x )= a≤x ≤b
( b−a )
Is a continuous uniform random variable

Mean and variance
If X is a continuous uniform random variable over a ≤ x ≤ b
a+b 2
μ= E ( X )= ∧σ =V ( X )=¿ ¿
2

Example
Uniform distribution over the interval [-1,1]
−1+1
a. E ( X ) =
2
V ( X )=¿ ¿
σ =0,577
x
1
b. P (−x< X < x )=0.90 → ∫ dt= [ 0,5 t ] =0.5 ( 2 x ) =x
−x 2

, {
0 x←1
c. Cumulative distribution function: F ( x ) = 0.5 x+ 5−1 ≤ x <1
1 1≤ x

4.5

Normal distribution
A random variable X with probability density function
1
f ( x )= e−¿¿¿
√2 π σ
Is a normal random variable with parameters μ where−∞< μ< ∞∧σ >0
Also, E ( X ) =μ∧V ( X ) =σ 2
And the notation N( μ , σ 2) is used to denote the distribution

Standard normal random variable
A normal random variable with μ=0 and σ2=1 is called a standard normal random variable and is
denoted as Z.
The cumulative distribution function of a standard random variable is denoted as
Ф ( z )=P(Z ≤ z)

Standardizing a normal random variable
If X is a normal variable with E(X)=μ and V(X)=σ 2, the random variable
X−μ
Z= is a normal random variable with E(Z)=0 and V(Z)=1.
σ
That is, Z is a standard normal random variable

Standardizing to calculate a probability
Suppose that X is a normal random variable with mean μ and variance σ 2. Then,
P ( X ≤ x )=P ( X−μ
σ
≤
σ )
x−μ
=P (Z ≤ z ) where Z is a standard normal random variable, and
x−μ
z= is the z-value obtained by standardizing X.
σ
x−μ
The probability is obtained by using Appendix table III with z=
σ

Example
X is normally distributed with a mean of 10 and a standard deviation of 2
a) P(X < 13) = P(Z < (13-10)/2) = P(Z < 1.5) = 0.93319
b) P(X > 9) = 1 - P(X < 9) = 1 - P(Z < (9-10)/2) = 1 - P(Z < -0.5) = 0.69146

c) P(6 < X < 14) = = P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) -P(Z < - 2)]= 0.9545

d) P(2 < X < 4) = = P(-4 < Z < -3) = P(Z < -3) - P(Z < -4) = 0.00132

e) P(-2 < X < 8) = P(X < 8) - P(X < -2) = = P(Z < -1) - P(Z < -6) = 0.15866

4.6

Normal approximation to the binomial distribution

, If X is a binomial random variable with parameters n and p,
X−np
Z= is approximately a standard normal random variable.
√np (1− p)
To approximate a binomial probability with a normal distribution, a continuity correction is applied
as follows:

(
P ( X ≤ x )=P ( X ≤ x+ 0.5 ) ≈ P Z ≤
x+ 0.5−np
√ np ( 1− p ) )
And

P ( x ≤ X )=P( x−0.5 ≤ X) ≈ P
(
x−0.5−np
√ np ( 1− p )
≤Z
)
The approximation is good for np> 5∧n (1− p)> 5

Normal approximation to the Poisson distribution
If X is a Poisson random variable with E(X)=λ and V(X)=λ,
X−λ
Z= is approximately a standard normal random variable.
√λ
The same continuity correction used for the binomial distribution can also be applied.
The approximation is good for λ>5

Example
X is a binomial random variable with n=200 and p=0.4

a) E(X) = 200(0.4) = 80, V(X) = 200(0.4)(0.6) = 48 and σ X =√ 48

Then,
P( X≤70)≃P Z≤
√ (
70. 5−80
48 )
=P( Z≤−1. 37 )=0 . 0853

P(70<X <90)≃P
√ 48 (
70 .5−80
<Z≤
89 . 5−80
√ 48
=P(−1 . 37<Z≤1. 37 )
)
b) =0 .9 1466-0 . 08534=0 . 8293

c)

4.7

Exponential distribution
The random variable X that equals the distance between successive events from Poisson process with
mean number of events λ>0 per unit interval is an exponential random variable with parameter λ.
The probability density function of X is,

Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:

Bewezen kwaliteit door reviews

Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!

In een paar klikken geregeld

Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.

Direct to-the-point

Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper juditheikelenboom. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor $6.17. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 72997 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Begin nu gratis

Laatst bekeken door jou

Boekverslag ·

(0)

engels boekverslag

Samenvatting ·

(0)

Samenvatting

samenvatting 2DD80

Document informatie

Onderwerpen

Gekoppeld boek

Geschreven voor

Verkoper

Voorbeeld van de inhoud