Samenvatting Functies van meer variabelen (Voortgezette Analyse)
13 views 0 purchase
Course
Voortgezette Analyse
Institution
Hogeschool Windesheim (HW)
Book
Calculus
Een samenvatting voor het vak Voortgezette Analyse, het onderdeel Functies van meer variabelen. De samenvatting is gebaseerd op colleges, maar ook op de paragrafen uit Calculus (7e druk) die behoren tot de leerstof.
V O O R T G E Z E T T E A N A L YS E
FUNCTIE S VAN ME E R VARIABE LE N
, FUNCTIES VAN MEER VARIABELEN
14.1 FUNCTIES VAN MEER VARIABELEN
Functies in de vorm 𝑦 = 𝑓(𝑥) leveren een grafiek in het xy-vlak op. Er kan ook een verband bestaan
die afhankelijk is van meer variabelen, zoals het volume van een cilinder.
Een functie van twee variabelen is een voorschrift dat aan ieder geordend paar (𝑥, 𝑦) uit een
verzameling 𝐷 ⊂ ℝ2 een waarde 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ toevoegt. D is het domein van f en het bereik is gelijk
aan de functiewaarden {𝑓(𝑥, 𝑦)| (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷}. We schrijven ook vaak 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧.
√𝑥+𝑦+1
Voorbeeld: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥−1
√3+2+1 1
𝑓(3,2) = = 2 √6
3−1
Maar wat mag je hier niet invullen uit ℝ2 ? De noemer mag niet 0 worden en de uitdrukking
onder de wortel moet altijd groter dan of gelijk aan 0 zijn.
𝑥≠1
Domein is daarom: { 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑦 ≥ −𝑥 − 1 ∧ 𝑥 ≠ 1}
𝑥+𝑦+1 ≥ 0
In het xy-vlak ziet het domein er zo uit zoals hiernaast.
, Als f een functie van twee variabelen is waarvan het domein D is, dan is de grafiek van f de
verzameling van alle punten (𝑥, 𝑦, 𝑧) in ℝ3 zodat 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷.
Voorbeeld: Schets de grafiek van de functie 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6 − 3𝑥 − 2𝑦 ofwel 𝑧 = 6 − 3𝑥 − 2𝑦. Dit is een
vlak. Daarom gaan we op zoek naar de snijpunten met de assen.
Als 𝑧 = 0 en 𝑦 = 0 Als 𝑧 = 0 en x= 0 Als 𝑥 = 0 en 𝑦 = 0
6 − 3𝑥 = 0 6 − 2𝑦 = 0 𝑧=6
−3𝑥 = −6 2𝑦 = −6 Dus (0,0,6)
𝑥=2 𝑦=3
Dus (2,0,0) Dus (0,3,0)
Voorbeeld: Bepaal het domein en bereik van 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 2 + 𝑦 2 en schets de grafiek.
𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 } en 𝐵𝑓 = [0, ∞).
Als 𝑥 = 0 dan 𝑧 = 𝑦 2 in het yz-vlak (uitgestrekte parabool).
Als 𝑦 = 0 dan 𝑧 = 4𝑥 2 in het xz-vlak.
In het xy-vlak hebben we een parabool 4𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑘.
De grafiek ziet eruit zoals hiernaast en hier spreken we van een elliptische paraboloïde.
De niveaukromme van een functie f van twee variabelen zijn de krommen met vergelijking
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 waarbij k constant is en 𝑘 ∈ 𝐵𝑓 . Waar twee niveaukrommen dicht bij elkaar liggen
betekent dit dat de oppervlakte steil is. Als je over een contourlijn ‘loopt’ zal je niet stijgen/dalen. Deze
lijn laat zien waar de functie allemaal de waarde k heeft.
3
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller cdenhollander. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.80. You're not tied to anything after your purchase.
