Samenvatting Systeemmodellering 1
Chris van Bergen
Samenvatting Systeemmodellering 1
Week 1: Modellen en de modelleercyclus
College 1.1 Modellen
“We beginnen met een introductie van het vak (wie, wat, waar, waarom, hoe?).
Aan de hand van voorbeelden (onder meer de modellen die je bij
Probleemanalyse hebt geleerd: doelenboom, CRD, SMART, NCW) gaan we na
wat we onder modellenverstaan en waarvoor die typisch gebruikt worden. We
kijken ook naar de rol van modelleren binnen de beleidscyclus die bijBestuur &
recht 1 is behandeld. Elk model representeert een systeem, en is opgebouwd
uit concepten en relaties die je als legoblokjes eindeloos kunt combineren.
Maar sinds de late middeleeuwen weten we al dat je modellen nooit nodeloos
ingewikkeld moet maken, dus daar hameren we op!”
-Model: een representatie van een systeem bedoeld om op efficiënte wijze een
antwoord te geven op een vraag over een systeem.
➝ ‘model’ afgeleid van Latijnse woord ‘modulus’, dat ‘kleine vorm’
betekent ➝ modelleren: het ‘in kleine vorm’, d.w.z. vereenvoudigd
weergeven van de werkelijkheid
-Systeem: een deel van de werkelijkheid waarover we een vraag willen
beantwoorden.
➝ ‘een deel van de werkelijkheid dat in samenhang wordt beschouwd en
als geheel gedrag vertoont’ ➝ samenhang en gedrag karakteristieke
eigenschappen voor het concept ‘systeem’
-Van het Griekse woord dat betekent ‘geheel uit verscheidene delen of
leden samengesteld’
-Efficiëntie
-verhouding tussen twee andere factoren:
efficiëntie = output/input
-Efficiëntie van een systeem ➝ duidelijk maken wat je ziet als ‘output’ en
wat als ‘input’. Vervolgens deze factoren operationaliseren.
-Een efficiëntie die gebaseerd is op een omzetting, wordt vaak rendement
genoemd.
-Modelleren
-het maken van een model
-bij modelleren wordt de werkelijkheid altijd geanalyseerd en in meer of
mindere mate vereenvoudigd door te abstraheren, te selecteren en te
idealiseren.
Analyseren
-Wat is nodig om de vraag te beantwoorden?
-Een systeem ontleden door binnen dat systeem subsystemen, factoren en
relaties te benoemen.
Selecteren
-Systeem afbakenen: plaats, tijd, aggregatieniveau etc.
-Niet alle systeemeigenschappen worden meegenomen in het model
Abstraheren
-Representatie van de werkelijkheid (het is niet meer de werkelijkheid zelf!)
-Systeemeigenschap wordt abstract weergegeven: in schemavorm, als
variabelen, enz.
Idealiseren
-Concepten of relaties worden vereenvoudigd
,Samenvatting Systeemmodellering 1
Chris van Bergen
-Bv: lineair, sinusvormig, wrijvingloos etc. (Dat was in de werkelijkheid niet
zo!)
-Ockham
-1288 - 1347
-Engelse monnik en filosoof
-Formuleerde een belangrijk wetenschappelijk principe op de volgende
manier:
‘Numquam ponenda est pluritalis sine necessitate’ = ‘Meervoudigheid
moet nooit zonder noodzaak gebruikt worden’
➝ geen extra verklaringen toevoegen als dat niet nodig is
➝ dit principe werd in de 19e eeuw het Ockhams scheermes (Ockham’s
razor) genoemd: met het scheermes worden alle overtollige verklaringen
weggesneden.
-Soortgelijke uitspraken andere wetenschappers:
-Leonardo da Vinci: ‘Eenvoud is de ultieme verfijning’
-Isaac Newton: ‘We moeten niet meer oorzaken toelaten voor
natuurlijke zaken, dan die wáár zijn en voldoende zijn om de
verschijnselen te verklaren.’
-Albert Einstein: ‘Alles moet zo eenvoudig mogelijk gemaakt worden,
maar niet eenvoudiger’
-Concept
-een term met een specifieke betekenis (mag symbolisch zijn)
-Algemeen gesteld zijn concepten abstracte voorstellingen van dingen,
eigenschappen, toestanden, veranderingen en verbanden die in de
werkelijkheid worden onderscheiden.
-Concepten onlosmakelijk verbonden met taal. Als mensen natuurlijke taal
te omslachtig vinden om ergens over te praten bedenken ze speciale talen
waarin concepten met symbolen worden aangeduid die het hanteren ervan
vergemakkelijkt
➝ term waarmee een concept wordt aangeduid kan dus behalve een
woordterm ook een grafisch of een ander symbool zijn
-Om begripsverwarring te voorkomen moeten verschillende concepten met
verschillende termen worden aangeduid
➝ bij natuurlijke talen vaak niet het geval en gebruiken mensen dezelfde
term oom verschillende concepten aan te duiden ➝ homoniemen
➝ ontstaan meestal doordat groep mensen bestaande woorden in een
andere betekenis gaan gebruiken
➝ dubbelzinnigheid van een term kan eenvoudig worden opgeheven door
de termen uit te breiden
-Omgekeerd komt het voor dat een concept met meer dan één term wordt
aangeduid ➝ synoniemen
➝ bij veel synoniemen bestaat toch een nuanceverschil in betekenis,
waardoor het feitelijk toch verschillende concepten zijn
-Concepten definiëren:
-Intensionele definitie
➝ een beschrijving (bv. A is de verzameling van alle TU-gebouwen
die aan de Jaffalaan liggen)
-Extensionele definitie
➝ alle elementen opsommen ➝ noteren door elementen door
komma’s gescheiden tussen accolades te schrijven (bv. A =
{gebouw 30, gebouw 30a, gebouw 31}
-Relatie
,Samenvatting Systeemmodellering 1
Chris van Bergen
-een concept dat een verband beschrijft tussen twee of meer andere
concepten
-meestgebruikte relaties zijn binair in de zin dat ze het verband beschrijven
tussen telkens 2 concepten
Wiskundige definitie en notatie
-Een relatie is gedefinieerd over een aantal verzamelingen en verbindt, uit
deze verzamelingen, de elementen die met elkaar in het bedoelde verband
staan.
-Wiskundig gezien is een relatie een deelverzameling van het Cartesisch
product van deze verzamelingen
-Omdat relaties verzamelingen zijn worden ze vaak met een hoofdletter
aangeduid
-Om aan te geven over welke verzamelingen een relatie is gedefinieerd
schrijf je R ⊆ V1 × V2 × ... × Vn.
-Om aan te geven dat de concepten x, y en z door de relatie R met elkaar
in verband staan schrijf je R(x, y, z)
-Voor veelgebruikte wiskundige relaties worden standaardsymbolen
gebruikt ( >, ∈ etc)
Eigenschappen van binaire relaties
Reflexiviteit
Een relatie Q ⊂ E × E is reflexief indien ∀ e ∈ E: Q(e, e).
∀: voor alle
∈: in de verzameling
In woorden: Een binaire relatie over een verzameling is reflexief als elk
element van die verzameling aan zichzelf gerelateerd is.
-Voorbeelden van reflexieve relaties op de verzameling reële getallen ℝ
zijn = (is gelijk aan), ≥ (is groter dan of gelijk aan) en ≤ (is kleiner dan of
gelijk aan). Andere voorbeelden van reflexieve relaties zijn ⊆ (is een
deelverzameling van), de verbindingsrelatie tussen knopen in een netwerk,
alsook de op de verzameling mensen gedefinieerde relatie "is familie van".
Een relatie Q ⊂ E × E is irreflexief indien ∀ e ∈ E: ¬Q(e, e).
¬ : geen enkel
Transitiviteit
Een relatie Q ⊂ E × E is transitief indien ∀ e1, e2, e3 ∈ E: Q(e1, e2) ∧ Q(e2,
e3) ⇒ Q(e1, e3).
In woorden: Een binaire relatie over een verzameling is transitief als
steeds wanneer een element x gerelateerd is aan een element y, en
,Samenvatting Systeemmodellering 1
Chris van Bergen
element y op zijn beurt weer gerelateerd is aan een element z,
element x dan ook gerelateerd is aan element z.
Voorbeelden van transitieve relaties op de verzameling reële getallen ℝ
zijn > (is groter dan), ≥ (is groter dan of gelijk aan), en = (is gelijk aan).
Andere voorbeelden van transitieve relaties zijn hiërarchische relaties (is-
baas-van), de beïnvloedingsrelatie in een causalerelatiediagram, en
de subsumptierelatie (is-a).
Symmetrie
Een relatie Q ⊂ E × E is symmetrisch indien ∀ e1, e2 ∈ E: Q(e1, e2) ⇒ Q(e2,
e1).
In woorden: Een binaire relatie is symmetrisch als steeds wanneer een
element x gerelateerd is aan een element y, element y dan ook
gerelateerd is aan element x.
De relatie = (is gelijk aan) is dus symmetrisch; de relaties < en > (is
kleiner/groter dan) op de verzameling reële getallen ℝ zijn dat niet. Andere
voorbeelden van een symmetrische relatie zijn "is reciproke van" (op de
verzameling rationele getallen ℚ), "is buur van" (op de verzameling
inwoners van een stad) en "is verbonden met" (op de verzameling knopen
in een fysiek netwerk).
Een relatie Q ⊂ E × E is asymmetrisch (of anti-symmetrisch) indien ∀ e1,
e2 ∈ E: e1 ≠ e2 ∧ Q(e1, e2) ⇒ ¬Q(e2, e1).
Partiële ordening
Een relatie Q ⊂ E × E is een partiële ordening wanneer Q transitief,
reflexief en asymmetrisch is.
De relaties ≤ en ≥ (is kleiner/groter dan of gelijk aan) op de verzameling
reële getallen ℝ zijn dus partiële ordeningen. Ook de relatie ⊆
(is deelverzameling van), de hiërarchische relatie in
een organisatieschema) en de definitierelatie in een doelenboomzijn
partiële ordeningen.
Totale ordening
Een relatie Q ⊂ E × E is een totale ordening wanneer Q transitief,
irreflexief en asymmetrisch is.
,Samenvatting Systeemmodellering 1
Chris van Bergen
De relaties < en > (is kleiner/groter dan) op de verzameling reële getallen
ℝ zijn dus totale ordeningen. Ook de volgtijdelijkheidsrelatie in
een ⊕kritiekepaddiagram is een totale ordening.
-Verzameling
-een collectie van verschillende objecten, elementen genaamd, die op haar
beurt ook weer als een object wordt beschouwd.
{…,…,…,…}
-Voor conceptualisatie:
Alle concepten definiëren een verzameling
Alle relaties zijn een deelverzameling van het cartesisch product van
verzamelingen
Notatie en eigenschappen
-Verzamelingen worden met hoofdletters aangegeven
-Welke elementen tot verzameling behoren op 2 manieren te specificeren:
1. Intensionele beschrijving:
A is de verzameling van alle TU-gebouwen die aan de
Jaffalaan liggen
2. Extensionele beschrijving (alle elementen opsommen; noteer je
door de elementen door komma’s gescheiden tussen accolades te
schrijven)
A = {gebouw 30, gebouw 30a, gebouw 31}
-Elementen zijn uniek ➝ elk element van A komt precies één keer in A voor
-Volgorde waarin ze worden opgeschreven doet er niet toe
-Twee verzamelingen A en B zijn alleen gelijk als ze precies dezelfde
elementen hebben
-Als elk element van verzameling A ook element is van verzameling B, dan
is A een deelverzameling van B. Notatie: A ⊆ B.
Bijvoorbeeld:
V = { x ⊆ S | geslacht (x) = vrouw}
V (deelverzameling) is stukje uit grote verzameling S
| : waarvoor geldt…
V is gelijk aan die elementen x in S waarvoor geldt … (geslacht
vouw)
V⊆S
-Kardinaliteit van A: het aantal elementen in een verzameling A (“de
grootte van A”) Notatie: |A| of ook wel #A.
-verzameling kan oneindig aantal elementen bevatten
➝ bijv. natuurlijke getallen (ℕ)
➝ extensionele beschrijving niet mogelijk, maar men kan een rij
karakteristieke elementen gegeven: ℕ = { 1, 2, 3, ... }
-Lege verzameling: verzameling zonder elementen
➝symbool: ∅
➝Dus |∅| = #∅ = 0
-Iedere verzameling heeft de lege verzameling als deelverzameling
-Met Venndiagram kunnen verzamelingen en hun onderlinge relaties
grafisch weergegeven worden
→venndiagram is een grafische weergave van verzamelingen. Iedere
verzameling wordt weergegeven door een gesloten lijn (vaak een
, Samenvatting Systeemmodellering 1
Chris van Bergen
ovaal). Door ovalen te laten overlappen, kunnen doorsneden van
verzamelingen worden weergegeven.
Bewerkingen
Vereniging
-vereniging van 2 verzamelingen A en B gevormd door de elementen die in
A of in B (of in beide) zitten
-notatie: A ∪ B
-De bewerking ∪ is zowel commutatief, d.w.z. A ∪ B = B ∪ A, als
associatief, d.w.z. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
V ∪ K = {…,…,…}
V ∪ K = {x | x ⊆ V v x ⊆ K }
Doorsnede
-doorsnede van 2 verzamelingen A en B gevormd door de verzameling van
gemeenschappelijke elementen, dus alle elementen die zowel in A als in B
zitten
-Notatie: A ∩ B
-De bewerking ∩ is zowel commutatief, d.w.z. A ∩ B = B ∩ A, als
associatief, d.w.z. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
V ∩ K = {…,…,…}
Bijvoorbeeld: zowel vrouw als kind:
V∩K={x|x⊆Vᴧx⊆K}
→ x zowel in V als in K
Cartesisch product
-Cartesisch product van 2 verzamelingen A en B is de verzameling van alle
geordende paren (a, b) waar a ∈ A en b ∈ B.
→ vermenigvuldiging van 2 verzamelingen
→ levert geordende paren op
-Notatie: A x B
-Het Cartesisch product van n verzamelingen bevat dus n-tupels (a1, ..., an)
-gebruikt om relaties tussen verzamelingen aan te geven
-Voorbeeld Voor A ={a1, a2} en B ={b1, b2, b3}, is:
A × B = { (a1, b1), (a1, b2), (a1,b3), (a2, b1), (a2, b2), (a2, b3) }.
-Let op! A x B ≠ B x A
Machtsverzameling
-machtsverzameling van een verzameling V is de verzameling die als
elementen alle mogelijke deelverzamelingen van V bevat.
-Notatie: ℘(V)
-Voorbeeld: zij S ={a,b,c}, dan is {a,c} een deelverzameling van S, evenals
{a,b} etc. De complete lijst van deelverzamelingen van S is:
1. { } = Ø, de lege verzameling)
2. {a}
