Ceci un cours résumé de la leçon des calcul integrales.Il est assez court bref et va directement au vif du sujet donc vous retrouvez dessus toutes les notions fondamentales pour assimiler comme il se doit ce cours
Soient 𝒇 une fonction continue sur 𝑰 et 𝑭 une primitive de 𝒇 sur 𝑰 et 𝒂 et
𝒃 deux éléments de 𝑰
Définition
L’intégrale de 𝒇 de 𝒂 à 𝒃 est le nombre réel :
𝒃
∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = [𝑭(𝒙)]𝒃𝒂 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)
𝒂
∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟎
𝒃
∫𝒂 𝒌𝒅𝒙 = 𝒌(𝒃 − 𝒂)
𝒃 𝒂
Propriétés ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = − ∫𝒃 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃 𝒄 𝒃
∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 + ∫𝒄 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 )relation de Chasles)
𝒃 𝒃 𝒃
∫𝒂 (𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)) 𝒅𝒙 = ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 + ∫𝒂 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 (la linéarité)
𝒃 𝒃
∫𝒂 𝑲𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑲 ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
𝒃
L’intégrale et ∀𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃] 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 ⟹ ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ≥ 𝟎
𝒃 𝒃
l’ordre ∀𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃] 𝒇(𝒙) ≥ 𝒈(𝒙) ⟹ ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ≥ ∫𝒂 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙
La valeur 𝒇 une fonction continue sur 𝑰 et 𝒂 et 𝒃 deux élément de 𝑰 tel que 𝒃 > 𝒂
𝟏 𝒃
moyenne Il existe un nombre 𝒄 de [𝒂, 𝒃] tel que 𝒇(𝒄) = ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
𝒃−𝒂
𝟏 𝒃
Le nombre ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 appelé la valeur moyenne de 𝒇 sur [𝒂, 𝒃]
𝒃−𝒂 𝒂
𝒃 𝒃
′ (𝒙) [𝒖(𝒙)𝒗(𝒙)]𝒃𝒂
∫ 𝒖(𝒙)𝒗 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒖′ (𝒙)𝒗(𝒙) 𝒅𝒙
Intégration 𝒂 𝒂
par parties Le choix de 𝒖 (fonction à dériver) se fait selon l’ordre de L vers S
L P E S
𝒍𝒏 polynôme 𝒆𝒙𝒑 𝒔𝒊𝒏 ; 𝒄𝒐𝒔 ; 𝒕𝒂𝒏
Calcul des aires
L’air du domaine délimité par (𝑪𝒇 )et l’axe des abscisses
𝒃
et les droites 𝒙 = 𝒂 et 𝒙 = 𝒃 est : (∫𝒂 |𝒇(𝒙)| 𝒅𝒙) 𝒖𝒂
𝒖𝒂 est l’unité de l’air 𝒖𝒂 = ‖𝒊‖ × ‖𝒋‖
L’air du domaine délimité par (𝑪𝒇 ) et (𝑪𝒈 ) et les droites
𝒃
𝒙 = 𝒂 et 𝒙 = 𝒃 est (∫𝒂 |𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)| 𝒅𝒙) 𝒖𝒂
Calcul des volumes
Le volume du solide engendré par la rotation de (𝑪𝒇 )
autour de l’axe des abscisses un tour complet sur
𝒃
[𝒂, 𝒃] est donné par (∫𝒂 𝝅(𝒇(𝒙))𝟐 𝒅𝒙) × 𝒖𝒗
𝒖𝒗 est l'unité de volume ⃗‖
𝒖𝒗 = ‖𝒊‖ × ‖𝒋‖ × ‖𝒌
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