Ceci un cours résumé de la leçon des calcul integrales 2.Il est assez court bref et va directement au vif du sujet donc vous retrouvez dessus toutes les notions fondamentales pour assimiler comme il se doit ce cours
I) Intégrale d’une fonction sur un segment.
Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ;b] et F une primitive de f sur [a ;b] .
b
Le nombre F (b) − F (a) est appelé intégrale de a à b de f , on le note f ( x )dx .
a
Notation: Par commodité, le nombre F (b) − F (a) s’écrit aussi F ( x )a . C’est-à-dire: a f ( x )dx = F ( x )a = F (b) − F (a )
b b b
f ( x )dx = − f ( x )dx
a b a
Conséquences : f ( x )dx = 0 et
a a b
Propriété1 : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, alors quel que soit l’élément a de I,
x
La fonction x f (t )dt est la primitive de f sur I qui s’annule en a.
a
II) Propriétés de l’intégrale.
Si f et g sont deux fonctions définies et continues sur un intervalle I, et a, b et c trois réels de I. et soit k IR .
a f ( x) + g( x) dx = a f ( x )dx + g( x )dx et k . f ( x )dx = k . f ( x )dx
b b b b b
▪ Linéarité de l’intégrale:
a a a
f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx
b c b
▪ Additivité ou relation de Chasles :
a a c
b
▪ Positivité de l’intégrale : Si f(x) 0 sur I et si a b , alors f ( x )dx 0
a
f ( x )dx g( x )dx .
b b
▪ Intégrale et ordre : Si f(x) g(x) sur I et si a b , alors
a a
b
▪ Inégalité de la moyenne: Si m f(x) M sur I et si a b , alors : m(b − a ) f ( x )dx M (b − a ) .
a
▪ Valeur moyenne d’une fonction :
1
Si a b alors le nombre =
b
f ( x )dx est appelé valeur
b−a a
moyenne de f sur l’intervalle a; b .
Remarques :
• La valeur moyenne de f est comprise entre m et M .
• Si le plan est rapporté à un repère orthonormé et si f(x) 0 sur I,
b
alors est la hauteur du rectangle de base b − a et d’aire : f ( x )dx
a
III) Techniques de calcul d’une intégrale.
▪ Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive.
La connaissance des primitives de fonctions usuelles permet de calculer des intégrales. (Tableau page 14)
▪ Intégration par parties: Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors (uv )' = u ' v + uv ' , donc uv ' = (uv )'− u ' v . Or une primitive de ( uv )' est uv ,
u' ( x ) v( x )dx = u( x ) v( x )a - u( x ) v' ( x )dx
b b b
d’où a a
(Formule d’intégration par parties)
▪ Décomposition de fractions en éléments simples.
▪ Intégrale - Parité : Soit f une fonction continue sur un intervalle − a; a .
f ( x )dx = − f ( x )dx
a a a
Si f est paire, alors Si f est impaire, alors f ( x )dx = 0
−a 0 −a
▪ Intégrale – Périodicité : Soit f une fonction continue et périodique sur IR de période T.
b +T a +T b +T
f ( x )dx = f ( x )dx f ( x )dx =
b
Alors, quels que soient les réels a et b on a : et f ( x )dx
a +T a a b
▪ Linéarisation des fonction trigonométrique. (Nombres complexes)
Pr: BELKHYR ABDELAZIZ 2019/2020
21
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller yassminetaghzaoui. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $2.99. You're not tied to anything after your purchase.
