Samenvatting
Summary Mathematics 114
- Vak
- Instelling
Full course Mathematics 114 summary for first year mathematics. Contains all notes with examples.
[Meer zien]Voorbeeld 5 van de 78 pagina's
Voorbeeld 5 van de 78 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
2 beoordelingen
Door: mbalitwala45 • 1 jaar geleden
Door: thomasdevilliers100 • 1 jaar geleden
Verkoper
Volgen
amoremller
Ontvangen beoordelingen
Voorbeeld van de inhoud
, Numbers ,Sets and Inequalities
Rational Numbers
1. NUMBERS -
r : Fn where m.net , n±o
Note : the decimal representation of a rational number is
Real Numbers IT I
:
always repeating eg
: =
0,50
R V3 : 2-3 =
0,6666 . . .
=
0,5
④
Integers
V5 ±
4
Zo
-3
"
v5
/
Irrational numbers IN Too
z
{
-
-
Cannot be expressed 3
- ,
Natural numbers 1,213.415.6 . . .
}
as a ratio of
integers 2 I
¥ rn
↳ %
no
2. SETS a collection of objects ,
called elements .
Ex S={ a. b. c. d } .
Here a ES ,
but e¢S .
0 denotes the set i. e. it has elements
-
empty ,
no
set operations
a) Union b) Intersection
S T S T S T
Metta took }
SUT :{ xlx c- Sor x ET } SAT -
-
{ xlxes and ✗ ET }
define
t
3. INTERVALS
Open intervals ( a. b) { xlacxcb } Look at table of intervals
}
=
a b
• •
page A- 4
Closed intervals [ a. b ] =
{ x1aExEb }
a b
Rules : ① If uab and bcc ,
than aac
② If ahb ,
than ate Cbtc
③ If acb and c >o than accbc
{④
,
*
If asb and cco ,
than ac > be
⑤ If aab and cod ,
than atccbtd
* ⑥ If osa< b. than ta > ¥
EX 1 tx ( 7×1-5 2 . XZ -
Tx + 12<-0 231-4×2 -11×-30<0
⇐> -4 [ 63C < Ix -
4) ( x 3) -
£0 ⇐> Gc 3) (x2 +7×+10 )
-
co
⇐7
-2g ( x <=> ( x -
3) ( ✗ + 5) (2+2)<0
3Mt 4
Replace
,↳
values before t
/
g p after into factors -
g z
/ 5
-
z
+ +
31×14 (x 3) o t
pct d
- -
o o
x -3
- -
-
- -
,
o + o +
( -213 )
-
+
xE[3,4] ( xtz )
-
o
-
or ✗ C-
2-
-
-
"
-
↳ + o + o +
( ✗ + g) o
-
3
✗ C- ( -2g ; g) + -
t
- t - t
1- cs ,
-
5) u 1-2135
,Absolute Values
Absolute Value : The absolute value of a number a. denoted / at ,
is the distance from a too on the real
number line .
Distance are
always positive or 0 ,
so we have
191>-0 for number of Ex : 131--3 1-31--3 13-171--17-3
every a , ,
Tn 191=9 if
general a ≥o
lot = -
a if a Lo
"
Recall ✓
"
Ote :
means the positive sguar root of
Ta true if a -30
is
only
'
= a
[ take a =-3 than F-3) 2=3 = a
In the case where aco ,
Tai = -
a
↳ than -
a >0
THUS : Ma = lol for all values of a
Properties of absolute values
,§
① label = lallbl
② 1%1 ¥
}
=
③ tant = 1am , NEZ
* ④ 1×1 = a iff x ±a
* ⑤ 1×1 < a iff -
a < ✗ La / IN ≤ a iff -
a ≤✗≤ a
⑥ ,,, µ, ,,
* , ,
, , , , , , ,
, µ, ≥, a≥,
LD If and if
only
C- × 1×1=3 x = 1--3
1×1<3 -3 LxL3
1×1>3 ⇐ >
xc -3 or x >3
C- ✗ 5
Express 13×-21 without the absolute value
system
13×-21
{ 3×-2 if
=
3×-220
2- 32C if 3 >c- 240
{ 3×-2 if x ≥ 73
= 2- 3.x if x ( 43
C- ✗ 6 Solve 12×-51 =3 1×1=9 if x = ± a
27C -51 = 3
⇐> 2x 5 3 or 22C -5 =-3
=
-
⇐ > 7C = Li or 7C = I
x C- { 1,4 }
C-✗ 7 Solve 1×-51<2
1×1 <a
⇐>
-
2 ( x -
5 C- 2 0 -
a < TCL a
⇐ > Loc < 7
3
x E 13,7 ) 3 7
,46 22C -
I
✗ + I =3 121=9 iffsc = -1-9
23C -
I 27C
-
I
2+1 =3 or act 1
=
-3
l =
-
32 -3
⇐> 23C -1 32+3 or 22C -
=
⇐ > -4 = x or 2C : -45 and ✗ =/ -
I
56 051×-51<42 -
Both must be true
AND
-
asel 1×-51 > o case z be -51<112
'
iff x -5 >o or x -
5<0 ⇐ >
-
I 4×-54 12 1×1 >a iff
"
iff 2C 75 of scc 5 912 Csc C 12 x G- a or I >a
o o
±
Thus x c- ( 92,5 ) u 15 ,
"
12 )
14
'
12 5 5112
Ex Solve 13×+41 -
12×-11=1
start with
{ [ ;D
"
13×1-41 =
3×+4 ,
✗ c- 13
-3×-4 ,xE C- as ; -
%)
①
[ 12,00 )
{
12×-11
'
=
2×-1 , x c- -2×+1 ③
0
' 3×+4
-
zxtl ,
ICE 1- as 12 ) i
-3 >c -
c, •• 2 >c- I
0 ② •
413
'
12
-
"
①
Suppose c- 1- as 13 )
-
✗ , .
1×+41-12×-11=1 ⇐> (-3×-4)-(-2×+1)=1
>
⇐ -
2C -
5 =L
< x =
-
6
Note that -
G. c- too -413) ,
② Suppose ✗ c- [ -413 ,
'
12] ③
Suppose ✗ c- [ "z.es )
13×+41-12×-11=1 ⇐> (3)etc, ) -
(-2×+1) =\ 13×+41
-
12×-11--1 ⇐>
(321-4)-(2×-1)=1
⇐> 5×+3=1 ⇐ >
✗ +5 =
I
⇐ > >c = -215 ⇐ >
x =
-
a
[ ¥ 'z ) [
'
Note that -215 c- Note that -4¢ lz ,
as )
,
THUS 13×+41-12×-11=1 <= >
✗ c-
{ -6 ,
-215 }
, C- ✗ Solve the
inequality 2<-13×-5146
First solve the
inequality separately :
13×-51<6 13.x -51 22
⇐> -
6 53.x -516 <= > 3×-5>-2 or 32C -5£ -
2
⇐ > -1 432C 911 ⇐ > 32-77 or 32 £3
⇐ > -
'
13 Soc <
"
13 ⇐ > x
I 73 or 2C
It
( " "
x c- 13) C- I -0,1 ] [ 73 )
-
>
⇐ 3 ,
⇐ > x u ,
as
2<-13×-51 < 6
1- 13 [1-0,1]
173,2b¥ Can you
'
do this ?
"
⇐ > x c-
,
B) n u
⇐ > x c- ( -
'
13, I ] u [ >
13 ,
' '
13)
• • 0
'
I ' '
13 713 13
-
Proof
if xzo
{
"
loci =
-
x if oc co txt : Fi
for all x (R)
→
C- ✗ :
prove that
the lock = xz
Proof real number either
:
Suppose >c is a , xzo or xco
case 1 : ✗ 20
we have lock = x2 ( since bcl=x )
cases :
x co
1×12 =
1 xp-
= x2 ( since bcl = -
x )
therefore 1×12=70 for a " "
☐
[ ☐ end of proof
The
Triangle Inequality
If a ,b c- 112 ,
then latbl E Iat t Ibl
Always
*
smaller or
equal to
PROOF lal Etat & Ibl Elbl
:
Suppose a. b c- 1112 :
Case If b have the same then the either
, a and
sign sum on side is equal .
Case 2 If a andb have opposite signs ,
then
-
late a stat ①
and - Ibl Eb E Ibl ②
Adding ① ② that
and we
get
-
( lait lbl ) I atb E Iat t lbl -
c < x Cc
Put atb and
/
✗ "
y
=
=
then c = Iat t Ibl
lxtscifff.ro
that ← ✗ ,
teased
so - c ⇐
m
⑤ bet <C
lxl=ciHy#
and ④ loci =L iff x=±c
we have lxl Ec x = ± c
l
THUS latbl E Iat t Ibl
Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:
Bewezen kwaliteit door reviews
Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!
In een paar klikken geregeld
Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.
Direct to-the-point
Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper amoremller. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor $8.11. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 75197 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen
Laatst bekeken door jou
Samenvatting ·
statistiek
Samenvatting ·
Las Vanguardias
Tentamen (uitwerkingen) ·
need help?
Voordeelbundel ·
Praktijk
Samenvatting ·
Control systems
College aantekeningen ·
fluid mechanics
College aantekeningen ·
Economics
Samenvatting ·
Enzyme kinetics
