Zusammenfassung Algebra und Analysis Differenzialrechnung

Differentialrechnung


Steigung von Kurven




präzises Map für die Steilheit Graphen Punkt
·

der in einem


bei
3=px
+
9 ->
p die
Steigung
Wenn
positiv: Steigung
·

a d. Gerade steil, links nach rechts
p groß von



·Wennp dnegativ: Gerade fällt steil ab
grop
die Steilheit Kurve bestimmten Punkt lässt Tangente die
Steigung Kurve
·



einer in einem sich als einer an


Punkt definieren,
in diesem d.h. als
Steigung der Geraden, die die Kurve in diesem Punkt
gerade berührt.

-> Der Punkt P (xolf(xol). Die
Steigung der Tangente an den Graphen 4, heißt die Ableitung von flx) an der Stelle Xo

und diese Zahl wird mit fxol bezeichnet



L

4

ge
P 3 Z
f Id . R

y
=
f(x
2
P
Y f(x)
1




⑩*
I 2 345 G 7




Tangenten und Ableitungen


T T

Sekante wird zu
Tangente

⑨E I
P. P.




X of
*
Ux
o




-> Die Gerade durch Pund Q ist sekante - schneidet 2 Punkte, Q und
liegen beide auf f

-> Wenn Q auf zu bewegt dreht um P
Pfestgehalten wird der Kurve auf wird -Sekante sich

-> Gerade PT, gegen die die Sekante strebt, ist die
Tangente
·Angenommen, die X-Koordinate von O
gleich totDx, wobei Ax eine kleine Zahl O

-> dann ist die X-Koordinate von QFXo(weil GP), aber eine Zahl nahe an u. Weil Q liegt auf f, y-Koordinate
von Q gleichf(xotAx) -Daher hat G die Koordinaten (xo +DxIf(xo+Ax1
-> Die
Steigung d. Sekante wäre also: flxot Ax)-flxol -> Differenzen-Quotient von f

x
1




·Die Steigung der Tangenten an den Graphen in wird als die Zahl, gegen die die
Steigung der Sekante strebt,

wenn Ax
gegen
O
geht definiert
·


Definition von f'lxol: f'lxu) ist d. Grenzwert des Differenzen-Quotienten für Axt C




Definition: Die Ableitung der Funktionf and. Stellen, die mit flo bezeichnet wird, ist durch die Formel
gegeben
f) (Xo lim =
flxotAX)-flxoL
*x- O
AX

, ·Die Zahl f'lxol Steigung der Kurve Punkt (xolf(x)
gibt die
Tangente an die
z=f(x im



·Gleichung einer Geraden durch (xetzel mit
Steigung gegeben durch
g-je=b/x-x.

Definition: Die Gleichung der
Tangente an den Graphen der Funktion
y
= f(x) imPunkt (xoIf(xol) ist:


9 flxo f'xo)(x -xol
=




Quiz 3

Ab Definition, umf(Xo) zu berechnen, wenn fx= -Bestimmen Sie f'lE)

~>
binom Formel latb=t2ab+ bi

·

Fürf(x)=x haben wir f(xot Ox) =
/xotAX3=x8+2xoAxt AXY unddamit f(xotAX)-fIxo) =
18+2xoAx +AXY-x=2xoAx+Ax2
flxotXx)-fIXd_2xoUx+Ox
-> Daher erhalten wir für allex 0
AX WX -Axllgot EX =
2xot WX




·DaNX -0, strebt (xotAX -2xo
fId=dimfotEx-fId =limGolIXOtEx)=Ex
*



Wennf(x)=x?, dann ist f'Xd=2x.


->Fürden spezialfall
x =
erhalten wirf'(7)=2.=1
2
=(x1 =
x S
3
f(x) =
x

Q
· 4




:No+8x4-4=(**x+10N
3-



zu



i --

P Ox
-------
o
* Xo't Ex
I


----
S
z S




-> Eine Sekante von f(x)=x4 -1-
->
Tangenten von f(x) =xi




Notation


Wenn f(x)= 2, dann f'(xo)= Zxo für
gilt jedes
·



vo

-> als
Symbol einer
Größe, die
jeden Wert annehmen kann, deshalb f'(x)=2x
-> Resultat: f(x1 x2 -> f'(x) = 2x

->Das
Resultat=Spezialfall der
folgenden Regel mit den Konstanten ab und c:


f(x) = ax"+6X +c -> f'k) =
Lax+b

Differential dfk
-
Notation Wenn
y=f(x) -> anstelle f(x) dy idf(x) oder

dx dx dx
-> d differenzieren
eine Anweisung, den folgenden Ausdruck nach X zu

dx
·Die Ableitung Punkt
einer Funktion an einem bestimmten wurde als
Steigung der
Tangenten an den Graphen
in diesem Punkt definiert




Definition: Die momentane Anderungsrate von - in to ist fxo




Definition: Die relative
Anderungsrate von - in to ist fxol
-> Ixol