Exam (elaborations)
Tentamen (uitwerkingen) Wiskunde B 2013 CCVX Antwoorden
- Course
- Level
Antwoorden opgaven Examen Wiskunde b CCVX 2013 januari.
[Show more]
Seller
Follow
abwrdan45
Content preview
Centrale Commissie Voortentamen WiskundeUitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013
Voorlopige versie 29 januari 2013
Opgave 1a
√
Schrijf f (x) = x · g(x) met g(x) = 9 − x2 .
−x
? g(x) = (9 − x2 )1/2 , dus g0 (x) = 1
2 · (9 − x2 )−1/2 · −2x = √ .
9 − x2
√ x2
? Dit geeft f 0 (x) = 1 · g(x) + x · g0 (x) = 9 − x2 − √ .
9 − x2
√ x2 q
? f 0 (x) = 0 ⇔ 9 − x2 = √ ⇔ 9 − x2 = x2 ⇔ x2 = 4 12 ⇔ x = ± 4 12
9 − x2 q
? In de grafiek zien we dat f een maximum heeft voor x = + 4 12
q
(en een minimum voor x = − 4 12 ).
q q q q 2
? f 4 12 = 4 12 · 9 − 4 21 = 4 12 = 4 12
Opgave 1b
? f (x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ 9 − x2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3 ∨ x = −3.
R3 R3 R3
? Te berekenen is dus π · ( f (x))2 dx = π · x2 (9 − x2 ) dx = π · 9x2 − x4 dx
0 0 0
h i3
? . . . = π · 3x3 − 51 x5 = π · (3 · 27 − 51 · 243) − (0 − 0) = π · 32 25 ofwel 32,4π.
0
Opgave 2a
? A en B liggen beide op C1 met middelpunt M, dus |AM| = |BM|
? l is de raaklijn aan C1 in A en O ligt op l, dus ∠OAM = 90◦
m is de raaklijn aan C1 in B en O ligt op m, dus ∠OBM = 90◦
? Dit betekent dat driehoek AOM en driehoek BOM congruent zijn volgens congruentiege-
val ZZR:
Z: |AM| = |BM|
Z: zijde OM is gemeenschappelijk
R: ∠OAM = 90◦ ; ∠OBM = 90◦
? En hieruit volgt weer dat ∠AOM = ∠BOM
(overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken).
Opgave 2b
? De redenering uit a geldt ook voor C2 , dus geldt ∠DON = ∠EON
? ∠AOB = ∠DOE (overstaande hoeken)
? Hieruit volgt ∠AOM = 12 ∠AOB = 12 ∠DOE = ∠DON
? ∠AOM en ∠DON zijn dus overstaande hoeken.
? MO en ON liggen daarom in elkaars verlengde, wat betekent dat O op de rechte lijn door
M en N ligt.
, 2
Opgave 3a
1 · (x2 − 2) − x · 2x −2 − x2
? f 0 (x) = 2
=
x2 − 2 x2 − 2 2
? De raaklijn heeft een vergelijking van de vorm y = ax + b.
−2 − 4 −6
Invullen van a = f 0 (2) = = = −1 21 , x = xP = 2 en y = yP = 1 geeft
(4 − 2)2 4
1 = −1 12 · 2 + b ⇔ 1 = −3 + b ⇔ b = 4.
De vergelijking van de raaklijn is dus y = −1 21 x + 4.
? y = −1 12 x + 4 met y = 0 geeft 0 = −1 21 x + 4 ⇔ 23 x = 4 ⇔ x = 83 = 2 23 .
y = −1 21 x + 4 met x = 0 geeft y = 4.
Q is zodoende het punt (2 23 ,0) en R is het punt (0,4).
? De oppervlakte van driehoek OQR is dus 12 · 38 · 4 = 16 3 = 53.
1
Opgave 3b
? F is een primitieve van f als F 0 (x) = f (x).
Differentieer F daarom met de kettingregel.
? Schrijf F(x) = 12 ln (u(x)) met u(x) = 2 − x2 .
u0 (x)
Dan volgt F 0 (x) = 21 ·
u(x)
1
−2x 2 · 2x x
? Dit geeft F 0 (x) = 21 · 2
= = = f (x).
2−x −(2 − x2 ) x2 − 2
Opgave 3c
? F(x) is niet gedefinieerd als 2 − x2 ≤ 0 ⇔ x2 − 2 ≥ 0.
Omdat f (x) niet gedefinieerd is als x2 − 2 = 0, zoeken we naar een formule die geldt als
x2 − 2 > 0.
? In dat geval is de functie G(x) = 21 ln x2 − 2 wel gedefinieerd.
2x
? G0 (x) = 21 · 2 = f (x), dus G is ook een primitieve van f .
x −2
Alternatief:
1
? Een primitieve van de functie h(x) = is H(x) = ln |x|.
x
Probeer daarom de functie G(x) = 2 ln 2 − x2 .
1
? Voor de waarden van x uit het domein van f waarvoor F(x) niet gedefinieerd
is,
geldt 2 − x2 < 0. Dan geldt dus 2 − x2 = x2 − 2 en G(x) = 12 ln x2 − 2 .
2x
? Voor deze waarden van x geldt G0 (x) = 12 · 2 = f (x).
x −2
Opgave 3d
x
? f (x) = −1 ⇔ 2 = −1 ⇔ x = −x2 + 2 ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔
x −2
(x − 1)(x + 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −2
? De oppervlakte van het vlakdeel wordt zodoende gegeven door
R1 R1
f (x) − (−1) dx = f (x) + 1 dx.
0 0
Met het snijpunt bij x = −2 sluiten de grafiek van f , de y-as en de lijn y = −1 geen vlak-
deel in!
R1
? f (x) + 1 dx = [F(x) + x]10
0
? . . . = 12 ln(1) + 1 − 12 ln 2 + 0 = 0 + 1 − 21 ln(2) − 0 = 1 − 21 ln(2)
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller abwrdan45. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $6.04. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
78998 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now