Other
bewijzen van BOM
- Course
- Institution
samenvatting van de gekende bewijzen van beslissingsondersteunende methoden
[Show more]
Seller
Follow
runedeschepper
Reviews received
Content preview
BewijzenBoek 1. Differentiaalvergelijkingen
Methode 3.2 (p. 32)
- Schrijf vergelijking in de vorm: y ' + M ( x ) y=N ( x )
- {∫ M ( x ) dx }
Bereken de tussenintegraal: G ( x )=exp
1
- Zo vinden we: AO . : y=
g(x)
[ C+∫ G ( x ) N ( x ) dx ]
Bewijs:
We nemen de afgeleide en kijken of die overeenstemt met de differentiaalvergelijking:
'
y + M ( x ) y=N ( x ).
Afleiden geeft ons:
y '=
[ 1
g( x) ]
[ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] ' afgeleide van een product
( )
'
1 1
¿ . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] '
g(x) g (x )
−g ' ( x) 1
¿ . [ C+∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + . g ( x ) N (x)
g ² (x ) g(x)
Voor de afgeleide functie van G ( x )=exp {∫ M ( x ) dx } geldt nu dat:
G ( x )=M ( x ) .G( x )
Bijgevolg kunnen we y’ verder vereenvoudigen tot
−M ( x)
¿ . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + N (x )
G(x)
y ' =−M ( x ) . y + N (x)
Eigenschap 4.1 (p. 54)
Voor elke homogene differentiaalvergelijking y ' ' + a y ' +by =0 geldt:
1. Y1(x) en y2(x) zijn oplossingen, dan is ook elke lineaire combinatie een oplossing van deze
homogene differentiaalvergelijking: C 1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x)
2. Y1(x) en y2(x) zijn onafhankelijke oplossingen, dan is de lineaire combinatie hiervan de AO
Bewijs:
1. Wanneer y1(x) en y2(x) beiden oplossingen zijn van dezelfde differentiaalvergelijking, dan
geldt:
'' ' '' '
y 1 + a y 1+b y 1 =0 en y 2 + a y 2+b y2 =0
Voor C 1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 (x) krijgen we dan:
(C ¿ ¿ 1. y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x))' ' +a( C ¿ ¿ 1 . y 1 ( x )+ C2 . y 2 ( x )) '+b (C ¿ ¿1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x))¿ ¿ ¿
¿ C 1 ( y 1 + a y 1+ b y 1 ) +C 2( y 2 +a y 2 +b y 2)
'' ' '' '
¿ C 1 .0+C 2 .0=0
Zodat dit een oplossing is voor de homogene differentiaalvergelijking
2. Wanneer deze onafhankelijk oplossingen zijn, geldt er:
y ( x )=C 1 . y 1 ( x ) +C2 . y 2 ( x) is een oplossing
y ( x )=C 1 . y 1 ( x ) +C2 . y 2 ( x) bevat 2 elementaire constanten (order is dus ook 2)
Bijgevolg zal dit de AO moeten zijn
Eigenschap 4.2 (karakteristieke vergelijking p.56)
, 1. Voor de homogene lineaire differentiaalvergelijking y ' ' + a y ' +by =0 luidt de karakteristieke
vergelijking λ 2+ aλ+b=0
2. Wanneer λ 0 een wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan is de functie bepaald door
λ x
y ( x )=e een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking
0
3. Wanneer λ 0 een dubbele wortel (D = 0) is van de karakteristieke vergelijking, dan is
bovendien ook de functie bepaald door y ( x )=x . e λ x een oplossing van de homogene 0
differentiaalvergelijking
Bewijs:
1. –
2
2. Wanneer λ 0 een wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan geldt λ 0+ a λ0 +b=0
λ0 x 2 λ0 x
Voor de functie bepaald door y ( x )=e λ x geldt: y '= λ0 . e 0
en y ' ' =λ0 . e
Zodat y ' ' + a y ' +b y
2 λ0 x
¿( λ¿¿ 0 . e¿¿ λ0 x )+a .(λ ¿ ¿ 0 . e ¿ ¿ λ 0 x )+ b .(e )¿ ¿ ¿ ¿
¿( λ¿¿ 02 +a λ 0 +b). e λ x ¿ 0
λ x
¿ 0. e =0 0
De functie bepaald door y ( x ) is dus een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking
3. Wanneer λ 0 een dubbele wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan geldt
λ 0+ a λ0 +b=0 en ook 2 λ0 =−a
2
Voor de functie bepaald door y ( x )=x . e λ x geldt 0
y '=e λ x + λ0 . x . e λ x en y ' ' =2 λ 0 .e λ x + λ 20 . x .e λ
0 0 0 0 x
Zodat y ' ' + a y ' +b y
¿ (2 λ 0 . e )+ a .(e ¿ ¿ λ0 x+ λ0 . x . e ¿ ¿ λ0 x )+b . x . e λ x ¿¿
λ0x 2 λ0 x
+ λ0. x . e 0
¿ ( λ20 +a λ 0+ b ) . x . e + ( 2 λ0 + a ) . e
λ x 0
λ x 0
λ0 x λ0 x
¿ 0. x . e +0. e =0
Naast de functie bepaald door y ( x ) is dus ook de functie bepaald door y ( x ) een oplossing
van de homogene differentiaalvergelijking
Eigenschap 4.3 (niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking p.63)
Niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking: y ' ' + a y ' +by =g ( x)
Gelden volgende eigenschappen:
1. Wanneer y p (x ) een oplossing is van de niet-homogene of volledige LD, en y h ( x ) is een
oplossing van de overeenkomstige homogene LD, dan is de som
y h ( x )+ y p ( x ) ook een oplossing van de niet-homogene LD
2. Wanneer y p (x ) een particuliere oplossing is van de niet-homogene LD, en y h ( x ) is de
algemene oplossing van de overeenkomstige homogene LD, dan is de som
y= y h ( x ) + y p ( x ) de algemene oplossing van de niet-homogene LD
Bewijs:
1. Wanneer beiden een oplossing zijn, dan geldt:
y p' ' + a y p' +b y p =g (x) en y h' ' + a y h' +b y h =0
Voor de som y h ( x )+ y p ( x ) krijgen we dan
¿
¿ ( y + a y h + b y h ) +( y p' ' +a y p' +b y p)
h
'' '
¿ 0+ g ( x )=g(x )
Zodat dit ook een oplossing is van de volledige LD
2. Als de ene een P.O. is en de andere een A.O., geldt:
a) y= y h ( x ) + y p ( x ) is een oplossing van de niet-homogene LD
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller runedeschepper. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.36. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
78075 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now