une suite numérique est une suite de nombres qui est définie de manière explicite ou implicite. Par exemple, la suite des nombres naturels (1, 2, 3, 4, ...) est une suite numérique explicite, tandis que la suite des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, ...) est une suite numérique implicite qui p...
Dans ce chapitre lK désigne le corps lR ou C. Les éléments de lK sont appelés des
scalaires. Si lK = lR le symbole 1 1 désigne la valeur absolue d'un réel. Si lK = C
le symbole 1 1 désigne le module d'un complexe. Une suite numérique est une
application d'un sous-ensemble infini N 1 de N dans !K. Au lieu de la noter
-----> ][(
n 1---+ u(n)
on la note u = (un ) n EN i où Un = u(n) . Si lK = lR on parle de suite réelle et si
][( = C on parle de suite complexe. Pour k E N 1 , le terme u k est appelé terme
de rang k de la suite numérique (un ) n · On dit encore que (un ) n est la suite de
terme général Un .
On appelle suite stationnaire une suite dont les termes sont constants à partir
d'un certain rang. On dit qu'une suite réelle (un ) n est à termes positifs ( resp.
négatifs ) si pour tout n E N1 on a Un � 0 ( resp. Un � 0) .
Soit A un sous ensemble non vide de !K. On dit que la suite numérique (u n ) n
est une suite d'éléments de A si pour tout entier n E N 1 on a Un E A.
Une suite n'est pas nécessairement définie pour tout entier naturel n. Toutefois
afin de simplifier l'exposé, nous ne considérerons que des suites définies sur N.
li sera aisé d'adapter les énoncés aux cas de suites définies sur un sous-ensemble
infini N1 de N.
Exemples
1 . La suite de terme général 1/n est une suite réelle définie sur N* .
2. La suite ( ( - 1 r ) n EN est une suite réelle définie sur N dont les termes de rang
pair valent 1 et ceux de rang impair - 1 .
3 . La suite de terme général Un = cos (ni ) + i sin (ni ) est une suite complexe
définie sur N .
4. La suite de terme général Un = ( i/n t est une suite complexe définie sur N* .
5. La suite de terme général Jn - 4 est une suite réelle définie sur l'ensemble
N 1 = {n E N 1 n � 4} .
,1 72 Définitions et généralités
On dit que les suites (un)n et (vn)n sont égales si pour tout n E N on a Un = Vn ·
Par exemple les suites ((-l) n ) n Elll et (cos(mr))n Elll sont égales.
Une suite peut être définie par la donnée du terme de rang 0 et d'une relation
de récurrence liant des termes consécutifs. On parle alors de suite récurrente
ou de suite définie par récurrence. Par exemple la suite (un)n définie par les
relations : uo = 2 et Un +I = 1 + ! un est une suite récurrente.
5.1.1 Convergence d'une suite numérique
D ÉFINITION 5.1 )< On dit que la suite numérique (un)n converge vers le sca
laire f, (ou qu 'elle tend vers f, E JK) si
Le scalaire f, est appelé limite de fa suite.
)< On dit que la suite numérique ( un)n converge dans lK s 'il existe f, E lK tel
que la suite (un)n converge vers f. Autrement dit, la suite (un)n converge
dans lK si
)< On dit que la suite numérique (un)n diverge si elle ne converge pas. Autre
ment dit, la suite (Un )n diverge si
R emarques
1. L'assertion 'r:IE; E IR+ 3N E N 'tin E N (n ) N ===} l un - fi � ) défi c
nissant la convergence de la suite (un)n vers f, s'interprète ainsi : une fois un
réel strictement positif fixé, on peut trouver un entier N à partir duquel tous
c
les termes de rang supérieur à N sont à une distance » de f, inférieure à
« c,
voir la figure 1 . On peut donc trouver un rang à partir duquel les valeurs de la
suite sont arbitrairement proches de R.
2. On ne modifie pas la nature d'une suite (le fait qu'elle converge ou diverge)
ni la valeur de sa limite si on modifie ses termes jusqu'à un rang donné.
3. Si la suite réelle ( un)n converge vers f, alors le réel f est un point d'adhé
rence < ' > de l'ensemble U = {un 1 n E N} puisque pour tout intervalle centré
en f, de la forme ]R - f, + [ avec E IR+ contient tous les termes de la suite à
c, c c
partir du rang N.
La figure 1 représente graphiquement les 100 premiers termes de la suite (un) n
de terme général Un = n� l sin(n) qui converge vers O. Quelle que soit la valeur
strictement positive de à partir d'un certain rang N, tous les termes de la
t:,
Fig. 1 Illustration graphique de la définition de la convergence.
suite (un ) n sont compris dans une bande de largeur 2 e autour de la valeur € de
la limite.
EXERCICE 1 Soit A un sous-ensemble non vide de R Montrer que le
réel a est un point adhérent à A si et seulement si il existe une suite réelle
(x n ) n d'éléments de A qui converge vers a. < 2)
PROPOSITION 5.1 Si la suite numérique (un ) n converge, la limite de la suite
est unique. On la note lim U n .
n-> + oo
Démonstration Raisonnons par l'absurde et supposons que la suite (un ) n
converge et qu'elle a deux limites € 1 et €2 distinctes. Posons = k lt'2 - € 1 1 E -
0n a E IR� et d'après la définition 5 . 1 ,
E
3N1 E N Vn E N (n � N1 ===? l un - t' 1 l � e )
et 3N2 E N \ln E N (n � N2 ===? l un - t'2 I � e ) .
Notons N = max { N1 , N2 } . En utilisant la première inégalité triangulaire < 3 J , on
obtient
( 2) Indication : on rappelle que le réel a est un point adhérent à A si tout i ntervalle ouvert
de centre a contient au moins un élément de A, autrement dit si
'if1) E IR+ 3x E A x E ]a - 17, a + îJ[.
(J) Voir la proposition 3.7 p . 108.
, 1 74 Définitions et généralités
ce qui est absurde puisque 1 > � · On en conclut que si la suite numérique (un ) n
converge alors la limite de la suite est unique. D
PROPOSITION 5 . 2 Si une suite réelle à termes positifs converge, sa limite
est un réel positif.
Démonstration Considérons une suite (u n ) n à termes positifs qui converge
vers un réel R, c'est-à-dire, voir la définition 5.1, supposons que
Ve E JR� 3N E N "in E N (n � N � l un R I � e) .
- (1)
Pour montrer que le réel R est nécessairement positif, raisonnons par l'absurde.
Si on suppose que R est strictement négatif alors on établit en prenant = � I R I
r::
dans la relation (1) ( on a bien E JR+) l'existence d'un entier naturel N tel
é
que pour tout entier n supérieur à N ,
On en déduit que pour tout n E N avec n � N ,
e e
2 � Un - f, � - 2 ·
Ceci implique que - �f, � Un � �f, < 0 ce qui est impossible puisque la suite
(un ) n est à termes positifs. On en conclut que le réel R est nécessairement
positif. D
Remarque On démontrerait de même que si une suite réelle à termes négatifs
converge, sa limite est un réel négatif. Par contre, on prendra garde que si une
suite réelle à termes strictement positifs converge, sa limite n'est pas nécessai
rement un réel strictement positif. Par exemple la suite de terme général 1/n
est une suite à termes strictement positifs qui converge vers 0 ( qui n'est pas un
réel strictement positif) .
Les résultats énoncés à la proposition 5.2 et dans la remarque précédente s'ins
crivent dans un contexte plus général précisé dans la proposition suivante.
Rappelons que la notion d'ensemble fermé dans lR a été introduite à la défini
tion 3 . 1 1 page 1 17.
PROPOSITION 5.3 Soit A un sous-ensemble de lR. L 'ensemble A est fermé
si et seulement si toutes les suites d 'éléments de A qui convergent ont pour
limite un élément de A.
Démonstration Ç:: Supposons que A est fermé et considérons une suite (un ) n
d'éléments de A qui converge vers un réel R. Montrons que R E A. Nous
avons vu que la limite R de la suite (un ) n est un point adhérent à l'ensemble
U = {un 1 n E N} (i.e. R E U) . Comme la suite (un ) n est une suite d'éléments
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