Summary
Samenvatting Algebra HS5: Inleiding op vectorruimten
- Course
- Institution
Ideale samenvatting van het hoofdstuk: Vectrorruimten. Boek: Lineaire Algebra van Dirk keppens voor Industrieel ingenieurs (1e jaar).
[Show more]
Seller
Follow
Janvdbj
Reviews received
Content preview
Hoofdstuk 5: Lineaire afbeeldingen (p 70-85)5.1 Definities
Een afbeelding T van een n-dimensionele vectorruimte V naar een m-
dimensionele vectorruimte W (of, wegens het isomorfisme, van Fn naar Fm )
is een bewerking die iedere vector ⃗x van V omzet in of afbeeldt op een
vector T (⃗x ) van W.
De vector T (⃗x ) is het beeld van ⃗x onder de afbeelding T.
Een afbeelding van een vectorruimte naar zichzelf wordt een transformatie
van V genoemd.
Een afbeelding T van V naar W is lineair a.s.a. aan de volgende voorwaarden is
voldaan:
T ( ⃗x +⃗y )=T ( ⃗x ) +T ( ⃗y ) , ∀ ⃗x , ⃗y ∈ V en
T ( r ⃗x )=rT ( ⃗x ) , ∀ ⃗x ∈V en ∀ r ∈ F
5.2 Kern en Beeld van een lineaire afbeelding
De kern van een lineaire afbeelding T van V naar W, genoteerd als KerT, is de
verzameling van alle vectoren van V die door T op de nulvector van W worden
afgebeeld.
KerT ={ ⃗v ∨⃗v ∈V en T ( ⃗v )=⃗0 } ⊂V
Het beeld van T, genoteerd als ImT, is de verzameling van alle beeldvectoren:
ImT= { T ( ⃗v ) ∨⃗v ∈V }
KerT is een deelruimte van V en ImT een deelruimte van W.
De dimensie van KerT wordt de nulliteit van T genoemd, de dimensie van
ImT noemen we de rang van T.
Tussen beide en de dimensie van V is er een verband, dat bekent staat als de
tweede dimensiestelling:
dim V =dim ( KerT )+ dim(ImT )
5.3 Matrix van een lineaire afbeelding
Algebra: Hoofdstuk 5 1
, Vanaf nu zullen we, tenzij anders vermeld, vectoren steeds noteren onder hun
kolommenmatrixvorm t.o.v. een bepaalde basis. Met ⃗x bedoelen we dus
een kolommatrix.
Voor lineaire afbeeldingen geldt er dan de volgende belangrijke eigenschap:
Een afbeelding T van een n-dimensionele vectorruimte V naar een m-
dimensionele vectorruimte W is lineair a.s.a. haar beelden kunnen bekomen
worden door de vectoren van links te vermenigvuldigen met een matrix, deze
matrix is uniek, eens de basissen van V en W gekozen zijn.
T :V →W lineair ⇔ ∃! A ∈ Mat ( m, n , F ) =T ( ⃗x )=A ∙ ⃗x , ∀ ⃗x ∈V
A wordt de matrix van de lineaire afbeelding T genoemd.
Omgekeerd:
Iedere matrix kan beschouwd worden als de matrix van, of geassocieerd
worden met, een lineaire afbeelding. Begrippen als de kern van een matrix of
het beeld van een matrix krijgen op die manier ook een betekenis.
Een lineaire afbeelding T van V naar W is volledig bepaald wanneer we de
beelden van de vectoren van een basis van V kennen.
Iedere vector ⃗x van V kan immers op unieke wijze geschreven worden als
een lineaire combinatie van de vectoren van een basis B=(⃗
e1 , ⃗
e2, … , ⃗
e n) :
⃗x =x 1 ⃗
e1 + x2 ⃗
e 2+ …+ x n ⃗
en
En bijgevolg:
T ( ⃗x )=T ( x 1 ⃗
e 1+ x2 ⃗
e 2+ …+ x n e⃗n )
Vermits T een lineaire afbeelding is, kunnen we dit schrijven als:
T ( ⃗x )=x 1 T ( ⃗
e1 ) + x 2 T ( ⃗
e 2 ) +…+ x n T ( ⃗
en )
Kennen we bijgevolg de beelden van de basisvectoren,
T (⃗
e 1 ) ,T ( ⃗
e 2 ) ,… , T (⃗
e n)
dan kunnen we hiermee het beeld T ( ⃗x ) van iedere vector ⃗x van V
bepalen.
Bovendien kunnen we deze formule schrijven in matrixvorm:
Algebra: Hoofdstuk 5 2
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller Janvdbj. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.25. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
66475 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now