Summary
Samenvatting Algebra HS4: Liniaire stelsels
- Course
- Institution
Een ideale samenvatting van het hoofdstuk: Stelsels. Boek: Lineaire Algebra van Dirk keppens voor Industrieel ingenieurs (1e jaar).
[Show more]
Seller
Follow
Janvdbj
Reviews received
Content preview
Hoofdstuk 4: Vectorruimten (p 58-69)4.1 Definities
Het combineren van (een) verzameling(en) met (een) bewerking(en) kan
aanleiding geven tot bijzondere structuren, die een specifieke naam krijgen.
4.1.1 Commutatieve groep
Stel dat we in een verzameling V een bewerking invoeren, die we hier
bijvoorbeeld voorstellen door +¿ en de optelling noemen, die aan de
volgende eigenschappen voldoet:
1. De bewerking is inwendig, overal gedefinieerd
∀ x 1 , x 2 ∈V : x 1+ x 2 ∈ V
2. De optelling is associatief
x
(¿ ¿ 2+ x3 )
∀ x 1 , x 2 , x3 ∈V : ( x 1+ x2 ) + x 3=x 1 +¿
3. Er is een neutraal element voor de optelling
∀ x ∈V : x+ 0=0+ x=x
4. Ieder element heeft een tegengesteld of invers element voor de
optelling
∀ x ∈V , ∃ (−x ) ∈V : x + (−x )=0
In dat geval noemen we de structuur V,+ een groep.
Geldt daarenboven:
5. De bewerking is commutatief
∀ x 1 , x 2 ∈V : x 1+ x 2=x 2 + x 1
4.1.2 Veld
Een veld F,+,• is eveneens een verzameling van elementen, die we nu
scalairen noemen.
Om van die verzameling een veld te maken, hebben we 2 bewerkingen nodig:
een optelling + en een vermenigvuldiging • en wel zodanig dat F,+ een
¿
commutatieve groep vormt evenals F {0 ¿ ¿ , • . Het neutraal element r deze
laatste is 1.
We beperken ons tot het veld van de reële getallen en het veld van de
complexe getallen.
1
Algebra hoofdstuk 4
, 4.1.3 Vectorruimte
Om een vectorruimte te vormen hebben we nodig:
Een commutatieve groep V,+; de elementen ervan noemen we vectoren
(algemeen ⃗v )
Een veld F,+,•
Een bewerking van FxV naar V, scalaire vermenigvuldiging genaamd,
die aan de volgende eigenschappen voldoet
∀ r , s ∈ F , ∀ ⃗v , ⃗
w∈V : 1. ( rs ) ⃗v =r ( s ⃗v )
2. ( r + s ) ⃗v =r ⃗v +s ⃗v
3. r ( ⃗v +⃗
w )=r ⃗v +r ⃗
w
4. 1 ⃗v =⃗v
We spreken dan van de vectorruimte V,+,• over het veld F.
Wanneer geen twijfel mogelijk is over welk veld het gaat, hoeven we het niet te
vermelden.
4.2 Deelruimte van een vectorruimte
4.2.1 Voorbeeld
Zie p 60
4.2.2 Criterium voor deelruimte
Een deelverzameling W van een vectorruimte V,+,• over een veld F is zelf
een vectorruimte a.s.a. als
r⃗ w2 ∈ W 1
w1 +⃗ voor elke r ∈ F en voor alle
w 2 ∈W 1
w1, ⃗
⃗
Notatie: W ≺V
Dit betekent dat het volstaat enkel deze voorwaarde te checken om te weten of
een deelverzameling van een vectorruimte, zelf ook een vectorruimte is.
Als aan het criterium is voldaan, dan zijn ineens alle voorwaarden voor een
vectorruimte vervuld, en omgekeerd.
4.3 Basis en coördinaten
4.3.1 Lineaire combinaties
2
Algebra hoofdstuk 4
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller Janvdbj. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.25. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
66475 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now