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maths analyse cours and exercice
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Chapitre 1Complément sur la réduction d’endomorphismes
Abdeslem Hafid Bentbib
Université Cadi Ayyad
Faculté des Sciences et Technique
Le 05 Octobre 2021
,2
, Chapitre 1
Complément sur la réduction
d’endomorphisme
Le but de ce chapitre est de compléter ce que l’étudiant a vu en algèbre 2 concérnant la
réduction d’endomorphisme. Tout particulièrement, nous verrons dans ce chapitre la décom-
position de Dunford qui nous conduira vers la réduction de Jordan. Cette dernière généralise
la diagonalisation au cas d’endomorphislme non diagonalisable. Elle consiste à déterminer
une base de l’espace vectoriel relativement à laquelle l’endomorphisme s’écrit de la manière
la plus simple possible (la plus canonique). Dans ce qui suit, E un K-espace vectoriel de
dimension finie n (K = R ou C).
Proposition 1. Soit f ∈ L(E) un endomorphisme, λ1 , · · · , λk ∈ Sp(f ) ses valeurs propres
distinctes, et v1 , · · · , vk des vecteurs propres associés. Alors la famille {v1 , · · · , vk } est libre.
Démonstration. En effet,
α1 v1 + · · · αk vk = 0 ⇒ f (α1 v1 + · · · + αk vk ) = 0
⇒ α1 λ1 v1 + · · · + αk λk vk = 0.
On montre le résultat par récurrence sur k et ceci en multipliant la première égalité par λk
et en faisant la soustraction avec la troisième équation.
Exercice :
1) Soit l’endomorphisme
f : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (−3y, x)
Calculer les valeurs propres de f .
2) Considérons l’endomorphisme
g : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (y, x)
3
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