Analysis I. Und Lineare Algebra Für Ingenieurswissenschaften
Class notes
10. Vl Ana1LinA Vektorräume
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Analysis I. Und Lineare Algebra Für Ingenieurswissenschaften
Institution
Technische Universität Berlin (TU Berlin)
Dies ist eine vollständige Vorlesungsmitschrift zur zehnten Vorlesung des Moduls Analysis I und lineare Algebra für Ingenieurswissenschaften. In dieser Vorlesung werden Vektorräume, Teilräume, Linearkombinationen und der Span thematisiert.
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Vektorräume
Vektorraum
Menge in derman Elemente addieren kann undmit Skalaren multiplizieren
kann
Skalare kommen aus einem Körper
Q IR E
Wirschreiben 1KfürdenSkalarkörper K IR oder IK
Vektoren Lateinische Buchstaben oder
Bezeichnung a v w usw T.EE usw
Skalare griechischeBuchstaben 7Kambdal µ my usw
Definition Vektorraum
Ein K Vektorraum isteine Menge V deren Elemente man addieren kann und
mit einem Skalar multiplizieren kann
Dh E Ü EV T E V
und XE1k Er E X EV
Dabeigeltenfolgende Gesetze
EHE EHE E E Fü ü asozial
Et ä ä ü Kommutativ
Esgibteinen Nullektor Ö fürden immer gilt Ö ü
neutrales Element
ü für TEV
zu ü EV gibt es einen Vektor ü EV mit Ttt Ö inversesElement
AMÜSANTGAME
At AE ME Gstribut
Hütet y distributor
T.EE
Bsp 1 Derkleinste Vektorraum ist K Ö
2 Pfeilklassen in derEbene ü
F
ü
j
, 3 IR EEIIx xzEIR
In
IR
E ER 1k
allgemeiner oder
IK In Elk
E
AdditionundSkalanmaltiplikation komponentenweise
B
EEE TEE
4 Vektorraum der Polynome
K plp G ist ein Polynom
Bsp Z t 5 Jet 8 PLZ t GE 2 32 13
pe qe
51pct 25 55
5 DEIR Alle Funktionen D IR bilden einen Vektorraum
f
Definition Teilräume
Teilmengeeines Vektaraums die selbst Vektormengeist
Sei V ein IK Vektorraum EineTeilmenge TEV heißtTeilramm in N wen
Tselbst auch ein Vektorraum ist
7 Gesetze 1 2 und 5 8 sind beijederTeilmenge erfüllt
I Teilraumkriterium Eine Teilmenge TEV aus einem KVektorraum V ist genau
dann Teilraum wenn
gilt 1 Ö ET
2 Ü Ü ET ET ET Tmuss abgeschlussen sein
3 ü ET TEK zu T bezüglichAdditionundSkalarmaltiplik
Bsp 1 Fürjeden Vektorraum V ist Öein Teilraum
und V ein Teilraum
2 VER
G ist eine Gerade durch Ö Y
EE IE ER bildeteinenTeilramm
Fi
n
oft Ö 1
1 ne
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